Jak ręcznie rysować dużo mandelbrota: 9 kroków

Mandelbrot Wiele składa się z punktów zbudowanych na złożonej płaszczyźnie Fractal: Uderzający formularz lub kształt, w którym każda część jest w rzeczywistości obniżoną kopią całości. Niesamowicie olśniewające obrazy, ukryte w mnogości MandelBroke, można było oglądać w 1500s ze względu na zrozumienie Rafaela bombódzkiego o wyimaginowanych liczbach - ale nie było to, podczas gdy Benoit Mandelbrot i inni nie zaczną eksplorować fraktali za pomocą komputera, więc Sekret Wszechświata został otwarty.

Teraz, że wiemy, że istnieje, możemy zbliżyć się do niego bardziej prymitywnie: ręcznie. Oto metoda oglądania szorstkiej reprodukcji konfiguracji, tylko po to, aby zrozumieć, jak się skończy - wtedy otrzymasz głębszą satysfakcję na temat wizualizacji, co możesz zrobić z wielu dostępnych programów komputerowych lub że możesz przeglądać na CD lub płyta DVD.

Kroki

jeden. Zrozumieć główną formułę, często wymawianąz = z + c. Oznacza to po prostu, że dla każdego punktu w Wszechświecie MandelBrot chcemy, abyśmy nadal obliczyli Z,Podczas gdy jeden z dwóch warunków nie występuje - wtedy malujemy go, aby pokazać, ile obliczeń zrobiliśmy. Nie martw się! Stanie się jasne po następujących krokach.

2. Weź 3 wielokolorowe ołówek lub złamane kredki lub wskazówki od markerów i czarnego, spiczaste ołówek lub pióro, aby zarysować.Powód, dla którego chcemy trzech kolorów - dokonamy pierwszego przybliżenia nie więcej niż 3 powtórzeń (fragmentów, lub, innymi słowy, przy użyciu wzoru do 3 razy w punkcie):

3. Czarny marker, przyciągnij duże labracts na desce, 3x3 metry, na kartce papieru.

cztery. Etykieta (również czarna) Middle Square (0, 0) ". Jest to stały punkt punktu - stałej ("c") dokładnie w środku placu. Powiedzmy, że każde kwadratowe 2 jednostki szerokości, tak dodaj i / lub odejmij 2 do / z wartości każdego kwadratu H i W , Gdzie H Pierwsza liczba I W - Druga. Kiedy się skończy, będzie wyglądać tutaj. Za każdym razem, gdy stosujesz się do komórki, wartości (drugiego numeru) muszą być takie same, za każdym razem, gdy podążasz za komórkami, wartości x (pierwsza liczba) powinna być taka sama.

pięć. Obliczyć pierwszą kartę lub Powtarzać , Formuły. Jak komputer (w rzeczywistości początkowe znaczenie tego słowa było "człowiek, który oblicza") może sam zrobić. Zacznijmy od tych założeń:

Wartość początkowa z każdego kwadratu (0, 0). Gdy wartość bezwzględna Z dla tego punktu jest większa lub równa 2, to punkt (i odpowiednie kwadrat), jak mówią, Unikać Zestawy MandelBrot. Kiedy się dzieje, pomalujesz kwadrat w zależności od liczby powtórzeń formuły, którą stwierdziłeś w tym czasie. Obraz zatytułowany 217503 5a

Wybierz kolory, których używasz dla przejść 1, 2 i 3. Przypuśćmy, że będzie odpowiednio czerwony, zielony i niebieski, dla celów niniejszego artykułu. Obraz zatytułowany 217503 5b

Oblicz wartość z lewego górnego rogu płyty krzyżowej, zakładając, że wartość początkowa Z wynosi jako 0 + 0i lub (0, 0) (patrz wskazówki dotyczące sekcji, aby uzyskać lepsze zrozumienie tych obrazów). Używamy formuły z = z + c, Jak opisano w pierwszym kroku. Szybko zobaczysz to w tym przypadku,Z + Cpo prostu `z` , jak zero Squared jest tylko zero. Z czym `DO` jest dla tego obszaru? (-2, 2). Obraz zatytułowany 217503 5C

Określ wartość bezwzględną tej wartości wartości bezwzględnej liczby złożonej (A, B) jest korzeniem kwadratowym z A + B. Teraz, ponieważ porównamy to ze znanym znaczeniem: "2" , Możemy unikać obliczania korzenia kwadratowego, porównując A + B do 2, co wiemy, jest równe "cztery" .Na tym obliczeniach A = -2 i B = 2. Obraz zatytułowany 217503 5d

([-2] + 2) =

(4 + 4) =

8, więcej niż 4.

Wyłączony z wielu mandelbrów po pierwszych obliczeniach, ponieważ jego wartość bezwzględna jest większa niż 2. Zbierz go o ołówkiem wybranym do zamówienia. Obraz zatytułowany 217503 5E

Zrób to samo dla każdego kwadratu na pokładzie, z wyjątkiem centralnego placu, który nie zostanie pozbawiony zestawu mandelbroke w trzecim przełęczu (i nigdy nie będzie pozbawiony). Więc używałeś tylko dwóch kolorów: kolor pierwszych stałych wszystkich zewnętrznych kwadratów, a trzeci kolorowy kolor dla linii środkowej.

6. Spróbujmy kwadraty 3 razy więcej , 9 do 9, ale nadal zachowując maksymalnie 3 powtórzenia.

7. Zacznij od trzeciego rzędu, ponieważ tutaj staje się interesujące.

Pierwszy element (-2, 1) jest większy niż 2 (ponieważ (-2) + 1stall 5), więc narysujmy jeden czerwony, ponieważ wymienia zestaw mandelbroty na pierwszym przełomie. Obraz zatytułowany 217503 7a

Drugi element (-1.5, 1) nie więcej niż 2. Opierając się na wzorze bezwzględnej większości, X + Y, gdzie X = -1.5 i y = 1: Obraz zatytułowany 217503 7b

(-jeden.5) = 2.25

1 = 1

2.25 + 1 = 3.25, mniej niż 4, więc pierwiastek kwadratowy jest mniejszy niż 2.

Zatem zwracamy się do naszego drugiego przejścia, obliczenie Z + C za pomocą skrótu (X-Y, 2XY) dla Z (patrz sekcja wskazówek, dla których ten skrót jest wytwarzany), za pomocą X = -1.5 i Y = 1: Obraz zatytułowany 217503 7c

(-jeden.5) - 1 staje się 2.25 - 1, który staje się jeden.25;

2xy, gdzie X-1.5 i y 1, staje się 2 (-1.5), co jest równe -3.0;

Daje nam z (1.25, -3)

Teraz dodaj DO do tej komórki (dodaj x do x, y do y) dostajemy (-0.25, -2)

Sprawdźmy, czy jest więcej niż 2 teraz wartość bezwzględna. Rozważamy x + y: Obraz zatytułowany 217503 7D

(-.25) = .0625

-2 = 4

.0625 + 4 = 4.0625, którego korzenie kwadratowe jest większe niż 2, wychodzi po drugim przejściu: nasza pierwsza zieleń!

Ponieważ jesteś teraz zaznajomiony z obliczeniami, czasami będziesz mógł powiedzieć, jak można uniknąć zestawu mandelbrooki, tylko patrząc na liczby. W tym przykładzie, składnik Y ma wartość 2, w której, gdy wartość innej liczby na placu i kwadrat jest większa niż 4. Każda liczba, większa niż 4, będzie miało więcej niż 2. Patrz poniższe wskazówki, aby uzyskać bardziej szczegółowe wyjaśnienie.

Trzeci element z wartością (-1, 1) nie uniknie pierwszego przejścia: gdzie i 1, a -1 na placu - to 1, x + y wynosi 2. Rozważamy więc Z + C za pomocą etykiety (X-Y, 2XY), gdzie z: Obraz zatytułowany 217503 7E

(-1) -1 staje się 1-1, który ma 0;

2xy następnie2 (-1) = -2;

z = (0, -2)

Dodając C, otrzymujemy (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)

Jest to ta sama wartość bezwzględna, co przed (pierwiastek kwadratowy z dwóch, około 1.41) - kontynuowanie trzeciego powtórzenia: Obraz zatytułowany 217503 7F

([-1]) - ([- 1]) staje się 1-1, który jest równy 0 (ponownie)...

Ale teraz 2xy wynosi 2 (-1) (- 1), co oznacza 2, równe wartości Z (0, 2)

Dodać Cetr (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3), a następnie A + B wynosi 10, znacznie więcej niż 4.

W ten sposób również się unikają. Kolor 6 komórek w trzecim kolorze, niebieski i przejdź do następnego, ponieważ ukończyliśmy trzy powtórzenia z tego punktu. Obraz zatytułowany 217503 7g

Fakt, że używamy tylko trzech kolorów staje się widoczne jako problem, ponieważ co wymienia dopiero po 3 powtórzeniach, malowane w taki sam sposób jak (0, 0), co "nigdy nie ucieknie - oczywiście jesteś nadal widzisz bliżej do "Błąd" Mandelbrot na tym poziomie szczegółów.

osiem

Kontynuuj obliczenia w każdej komórce , Chociaż nie dotyczył lub osiągnął maksymalną liczbę powtórzeń (liczba używanych kolorów: 3 w tym przykładzie), w tym momencie pomalujesz go. Oto jak matryca 9 na 9 opiekuje się 3 powtórzeniami na każdym kwadracie ... Wygląda na coś!

dziewięć. Powtórz tę samą matrycę ponownie z dużą liczbą kolorów (powtórzeń), aby zidentyfikować następujące kilka warstw, lub lepiej, dokonać znacznie większej matrycy do projektu długoterminowego! Otrzymujesz dokładniejsze zdjęcia według:

Obraz zatytułowany Mandelgen_81_81_0_0_1_RGB_Fast_533

Wzrost liczby komórek wynosi 81 komórek po każdej stronie. Zwróć uwagę na podobieństwo z matrycy 9 do 9 powyżej, ale z dużą gładszą krawędzią na okręgu i owalu.

Obraz tytułowy mandelgen_81_81_0_0_1_RGB2BLACK_Fast_797

Zwiększenie liczby kolorów (powtórzenia) - ma 256 odcieni czerwonych, zielonych i niebieskich łącznie 768 kolorów w porównaniu z 3. Zauważ, że teraz możesz zobaczyć kontury znanego Mandelbro "Jezioro" (lub "Błędy", W zależności od tego, jak na to patrzysz). Wadą jest ilość czasu, który jest wymagany przez, jeśli możesz obliczyć każde powtarzanie 10 sekund, jest około 2 godziny dla każdej komórki, czy tak, jezioro Mandelbrot. Chociaż jest to stosunkowo niewielka część matrycy 81 na 81, nadal będzie możliwe, zajmie rok, aby go ukończyć, nawet jeśli pracowałeś w ciągu kilku godzin każdego dnia. W tym miejscu jest typ kitsu silikonowego.

Rada

Dlaczego Z = (X-Y, 2xy)?

Aby pomnożyć dwie liczby złożone jako (A, B) C (C, D), użyj tutaj następującego wzoru: Artykuł MathWorld: (A, B) (C, D) = (AC - BD, BC + AD)
Stale pomnożone przez pierwiastek kwadratowy z negatywnej liczby 1, często nazywane `JA` . Numer złożony (0, 0), na przykład, 0 + 0i i (-1, -1) (1) + (-1 * i) .Mając na uwadze, że numer złożony ma "Real" i"Imitować" część, a druga liczba.

Nadal z nami? Pamiętaj, że terminy ale i z - Real, Przedłużacz B i RE Wyimaginowany . Dlatego, gdy wyimaginowane elementy są mnożone, pierwiastek kwadratowy ujemny 1 pomnożony przez siebie, daje ujemne 1, odmawiając wyniku i sprawia, że Real- Podczas gdy numer "AD" "i" podejście BC są wyimaginowane, ponieważ kwadratowy korzeń ujemnych 1 jest nadal wyrazem tych produktów. Dlatego mamy AC - Real , i reklama bc + wyimaginowany.
Teraz, ponieważ jesteśmy wzniesiony na placu numeru zamiast pomnożyć dwie różne liczby, może być nieznacznie uproszczony jako A = S, a w = D, mamy produkt w formie (A-B, 2Ab). A ponieważ wyświetla się "Kompleksowy samolot" na "kartezjański samolot", z "X" Reprezentujący osi "Real" i "Y" Reprezentujący osi "wyimaginowany", Będzie się odnosić (X-y, 2xy).

Jeśli znów policzysz komórkę i zauważysz, że wynik, który jest dokładnie taki sam jak ten, który już otrzymałeś dla tej komórki, wiesz, wszedłeś w niekończący się cykl - że klatka nigdy się nie wyrywa! W ten sposób możesz uzyskać etykietę, ostateczny kolor twoich komórek i przejście do następnego. (0, 0), oczywiście jedna z tych komórek.

Chcesz wiedzieć więcej o przyznaniu wartości bezwzględnej zintegrowanej liczby, nie pracując nad obliczeniami?

Wartość bezwzględna numeru złożonego (A, B) jest pierwiastkiem kwadratowym A + B, a także ale i `B` są prezentowane pod kątem prostym do siebie na siatce kartezjańskiej (X i we współrzędnych, odpowiednio). Dlatego, ponieważ wiemy, że zestaw mandelbrooki jest ograniczony do wartości 2, a kwadrat 2 = 4, możemy ominąć kwadratowe korzenie, wystarczy sprawdzić, czy x + y> = 4.

Jeśli Catat ma długość> = 2, potem hipotenuse (strona ukośna) powinna być również większa niż 2. Jeśli nie widzisz, dlaczego tak, spójrz na prostokątne trójkąty na siatce kartezjańskiej, a to stanie się oczywiste lub po prostu pomyśleć o tym tak: 2 = 4 i dodając inny numer dodatni (i usuń negatywne Numer na placu, zawsze jesteśmy pozytywny) nie może prowadzić do wyniku mniej niż cztery . W ten sposób, jeśli jeden składnik X lub w zintegrowanej liczbie ma wartość 2 lub więcej, wartość bezwzględna tej liczby jest większa niż lub równa 2, a zestaw unika MandelBroke.

Do obliczenia "Wirtualna szerokość" Każda komórka dzielimy "Średnica wirtualna" na "Liczba komórek minus jeden". Używamy wirtualnej średnicy 4 w powyższych przykładach, ponieważ chcemy pokazać wszystko w promieniu 2 (zestaw MandelBroke jest ograniczony do wartości 2). Do 3-stronniczego przybliżenia, który "4 / (3 - 1)" , który jest równy "4/2" , Co odpowiada "2" . Dla obszaru 9-stronnego jest to "4 / (9 - 1)" , który jest równy "4/8" , Co odpowiada "0,5" . Użyj tego samego rozmiaru wirtualnych komórek do wysokości i szerokości, nawet jeśli wykonasz jedną bok dłużej niż drugi, w przeciwnym razie zestaw zostanie zniekształcony.

Jak ręcznie rysować dużo mandelbroty

Kroki

Rada

Ostrzeżenie