Jak zbudować fraktal wiele kroków: 10 kroków

Wiele Apollo jest typem fraktali, który jest zbudowany stale zmniejszając się w średnicy kręgów w jednym dużym kręgu. Każde koło w zestawie Apollo jest "styczna" do sąsiednich kół, innymi słowy, kręgi w zestawie Apollo wchodzą w kontakt tylko w nieskończenie niskim punkcie. Jest nazwany na cześć greckiej matematyki Apollonia Perga. Ten rodzaj fraktalnego umiarkowanego stopnia złożoności można zbudować na komputerze lub ręcznie, tworzy piękny i jasny obraz. Zobacz Krok 1 poniżej, aby zacząć.

Kroki

Część 1 z 2:

Dowiedz się o podstawowych koncepcjach

Jeśli jesteś po prostu zainteresowany budowaniem zestawu Apollo, nie jest konieczne przeprowadzenie badań matematycznych fraktali. Jeśli jednak chcesz zrozumieć ten fraktalny głębiej, ważne jest, aby znać definicje wielu koncepcji, które zostaną wykorzystane w dyskusji na temat tego tematu.

jeden. Określ kluczowe warunki. W poniższych instrukcjach stosuje się następujące terminy:

Wiele Apollo: Jeden z kilku nazwisk typu Fractal, który składa się z grupy kół zlokalizowanych w dużym kręgu i odnoszące się do wszystkich sąsiednich. Nazywany jest również Soddy Circles lub "Kissing Circles".
Promień koła: Odległość od środka obwodu do punktu leżącego na okręgu. Zazwyczaj oznacza zmienną "r".
Kurawacja okręgu: pozytywna lub negatywna wartość promienia odwrotna, lub ± 1 / r. Krzywizna jest pozytywna na zewnątrz obwodu i negatywne - dla wewnętrznego.
Tanner: Termin ma zastosowanie do linii, samolotów i liczb, które przecinają się w jednym nieskończenie niskim punkcie. W mnogość Apollo odnosi się do faktu, że każde koło dotyczy sąsiedniego tylko w jednym punkcie. Należy pamiętać, że brakuje przecięcia - figury styczne nie pokrywają się.

Obraz zatytułowany Utwórz Apollonian Gasket Krok 2

2. Obserwuj twierdzenie Decartes.Theoartes Twierdzenie jest formułą, która jest używana podczas liczenia rozmiarów kręgów w zestawie Apollo. Jeśli zdefiniujemy krzywiznę (1 / r) jakichkolwiek trzech kół takich jak ZA, B, i DO W związku z tym twierdzenie stwierdza, że krzywizna okręgu (lub kół), która jest styczna do wszystkich trzech kół wyznaczonych RE,równa się: D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A).

Dla naszych celów użyjemy tylko odpowiedzi, które dostaliśmy, umieszczając znak plus przed rootem kwadratowym (innymi słowy, ... +2 (√ (...)). Obecnie wystarczy wiedzieć, że metoda odejmowania w równaniu jest używana w innych powiązanych zadaniach.

Część 2 z 2:

Budowanie zestawu Apollo

Wiele Apollo ma kształt pięknej fraktalnej konstrukcji od cięcia w wielkości kół. Matematycznie, wiele Apollo jest nieskończenie skomplikowany, ale czy korzystasz z programu komputerowego lub tradycyjnych narzędzi do rysowania, kończąc się do tego momentu, gdy niemożliwe jest narysowanie mniejszego koła. Należy pamiętać, że tym dokładniej rysujesz okrąg, tym bardziej będą odpowiadać wielu apollo.

jeden. Zbieraj narzędzia do rysowania cyfrowych i analogowych. W poniższych krokach zbudujemy nasze proste wiele Apollo. Możesz zbudować różnorodność siebie lub za pomocą komputera. W każdym razie musisz wyciągnąć doskonale gładkie kręgi. To dość ważne. Ponieważ każde koło w fraktali musi pasować idealnie z sąsiednimi kółkami, nawet nieco zdeformowane koło może zepsuć wynik końcowy.

Jeśli budujesz dużo na komputerze, potrzebujesz programu, który pozwala łatwo narysować krąg stałego promienia. GFIG - Rozszerzenie grafiki wektorowej dla darmowego oprogramowania do edycji obrazu Gimp. Może być używany w szerokiej gamie innych programów graficznych. Możesz potrzebować kalkulatora i edytora tekstu lub zwykłego notebooka do promienia i notatek krzywizny.
Aby ręcznie narysować zestaw, będziesz potrzebować kalkulatora (pożądane naukowe lub graficzne), ołówek, CIRKUL, linia (najlepiej z milimetrem znacznika), millimeter papieru i notatki dla notatek.

Obraz zatytułowany Utwórz Apollonian Uszczelka Krok 4

2. Zacznij od jednego wielkiego kręgu. Pierwszym zadaniem jest po prostu narysować jeden duży, doskonale gładki koło. Im większe okrąg, tym trudniej jest to być twój fraktal, więc spróbuj zbudować taki okrąg, który rozmiar papieru umożliwia, lub tak, że można go całkowicie zobaczyć na ekranie w programie graficznym.

Obraz zatytułowany Utwórz Apollonian Gasket Krok 5

3. Narysuj mniejsze koło w pierwszym kręgu, który dotknie go w jednym punkcie. Więc narysuj okrąg w naszym pierwszym kręgu, będzie mniejszy niż główny, ale wciąż dość duży. Dokładny rozmiar drugiego kręgu zależy od Ciebie, ponieważ nie ma rozmiaru. Narysujmy jednak drugi krąg, aby zajmowali połowę głównego okręgu. Innymi słowy, jego centrum jest środkiem większego promienia koła.

Pamiętaj, że w zestawie Apollo wszystkie kręgi są styczne do siebie. Jeśli używasz krążenia podczas budowania kręgów, odtworzyć ten efekt, umieszczając ostry koniec krążenia w środku promienia głównego okręgu, i dostosowując okrągły ołówek w taki sposób, że po prostu zasiali krawędź kręgu, a następnie narysuj mniejszy wewnętrzny koło.

Obraz zatytułowany Utwórz apollonian Gasket Krok 6

cztery. Narysuj identyczne koło obok mniejszego koła wewnętrznego. Więc narysujmy kolejny obwód obok pierwszego. Obwód powinien być styczny obu kółek: zewnętrzny większy i wewnętrzny mniejszy, co oznacza, że oba wewnętrzne kręgi wchodzą w kontakt dokładnie w środku dużych.

Obraz zatytułowany Utwórz apollonian Gasket Krok 7

pięć. Nałożyć twierdzenie Decartes, aby obliczyć wymiary następujących kół. Przez chwilę przestań malować. Teraz, gdy mamy trzy obwód w Fractal, możemy użyć twierdzenia Decartes, aby znaleźć promień następnego kręgu, który wyciągniemy. PAMIĘTAJ RÓWNOWAŻENIE DESCARTE THEOREM D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A), gdzie A, B i C są krzywizją trzech kręgów stycznych i d - krzywizna obwodu stycznego do wszystkich trzech. Dlatego, aby znaleźć promień naszego następnego kręgu, obliczmy krzywiznę każdego z obwodu, które mamy, aż znajdziesz krzywiznę następnego kręgu, a następnie obliczyć swój promień.

Określmy promień zewnętrznego obwodu jako jeden. Ponieważ inne kręgi są wewnątrz, mamy do czynienia z "wewnętrzną" krzywizną (zamiast zewnętrznej), a zatem wiemy, że jest negatywny. - 1 / R = -1/1 = -1. Więc krzywizna dużego kręgu jest równa -jeden.

Promień mniejszych kół jest połowa promienia jest duża, czyli 1/2. Ponieważ te koła stykają się ze sobą i głównym kółkiem przez strony zewnętrzne, mamy do czynienia z zewnętrzną krzywizną, pozytywną. 1 / (1/2) = 2. Dlatego krzywizna mniejszych kręgów jest równa 2.

Teraz wiemy, że A = -1, B = 2 i C = 2 w naszym równaniu twierdzenia Decartes. Obliczmy D:

D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A)

d = -1 + 2 + 2 ± 2 (√ (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))

D = -1 + 2 + 2 ± 2 (√ (-2 + 4 + -2))

D = -1 + 2 + 2 ± 0

D = -1 + 2 + 2

D = 3. Krzywizna następnego obwodu 3. Od 3 = 1 / r promień tego kręgu będzie równy 1/3.

Obraz zatytułowany Utwórz Apollonian Uszczelka Krok 8

6. Narysuj następujące kilka kół. Aby narysować następujące dwa kręgi, użyj wartości promienia, które właśnie znalazłeś. Nie zapominaj, że te obwody są styczne dla tych, których krzywizna była używana podczas liczenia twierdzenia dekiertów. Innymi słowy, będą dotyczyć i główne i wtórne kręgi. Aby te koła dotyczą trzech innych, musisz je narysować w wolnym obszarze na górze i dołu w głównym okręgu.

Pamiętaj, że promień tych kół jest 1/3. Ściśnij 1/3 z krawędzi zewnętrznego koła, a następnie narysuj nowy. To musi być styczna do wszystkich trzech pobliskich kręgów.

Obraz zatytułowany Utwórz apollonian Gasket Krok 9

7. W ten sposób kontynuuj dodawanie koła. Ponieważ są fraktalami, wiele Apollo jest nieskończenie złożony. Oznacza to, że możesz dodać obwód do rosnącej i mniejszej fraktali. Czy jesteś ograniczony tylko do dokładności swoich narzędzi (lub jeśli używasz komputera, zdolność programu graficznego, aby powiększyć). Każde koło, niezależnie od tego, że powinno być styczne do trzech innych. Aby narysować każde kolejne koło, użyj wartości krzywizny trzech styczników do kółek do twierdzenia Decartes. Następnie przy pomocy odpowiedzi dokładnie narysuj nowe koło.

Należy pamiętać, że zestaw, który wybraliśmy, aby zbudować, jest symetrycznie, więc promień jednego koła jest taki sam, jak promień obwodu jest identyczny. Jednak nie wszystkie zestawy apollo symetryczne.

Zróbmy inny przykład. Załóżmy, że po zbudowaniu ostatnich kilku kręgów będziemy chcieli narysować krąg styczna do naszej trzeciej pary i głównego okręgu. Krzywa tych kół jest odpowiednio 3, 2 i -1. Teraz zawieramy te liczby w twierdzeniu Decarte, ustawienie, że A = -1, B = 2 i C = 3:

D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A)

D = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (-2 + 6 + -3))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (1))

D = 2, 6. Mamy dwie odpowiedzi! Jednak wiemy, że nasze nowe krąg będzie mniejsze niż w stylu, oznacza to, że ma to sens, będzie to znaczenie tylko curwildu 6 (i promień 1/6).

Inną odpowiedź, 2, w rzeczywistości dotyczy hipotetycznego kręgu na "drugiej stronie" punktu stycznego do drugiego i trzeciego kręgu. Ten krąg jest styczny zarówno do tych kół, jak i głównym, ale przekroczy obwód, który już wyciągnąliśmy, więc możesz zignorować tę odpowiedź.

Obraz zatytułowany Utwórz Apollonian Gasket Krok 10

osiem. W teście spróbuj zbudować asymetryczną wiele Apollo, zmieniając rozmiar drugiego kręgu. Wszystkie zestawy Apollo zaczynają budować z tego samego - z dużym okrągiem zewnętrznym, co jest granicą fraktali. Jednak nie jest konieczne, aby promień drugiego kręgu był pierwszy 1/2. Postanowiliśmy podjąć te liczby na prostotę i łatwość zrozumienia. Dla przyjemności spróbuj zbudować nowy zestaw z drugim kręgiem innego rozmiaru - doprowadzi to do nowych kierunków w badaniu.

Po zbudowaniu drugiego kręgu (niezależnie od jego wielkości), kolejna akcja powinna być budowa jednego (lub więcej) obwodu, która jest styczna, a druga, a do głównych kół zewnętrznych - nie ma tylko prawdziwego sposobu budowania to. Następnie możesz użyć twierdzenia Decartes, aby określić promień kolejnych kół, jak pokazano powyżej.