Jak studiować Algebrę (z ilustracjami)

Po opanowaniu Algebry można nauczyć innych dyscyplin matematycznych, z których każdy opiera się na niektórych podstawowych zasadach i umiejętnościach. Rozwój takich umiejętności może być trudnym zadaniem dla tych, którzy są przede wszystkim matematyki. Jeśli tak jest, nie należy nerwowy - przeczytaj ten artykuł, w którym podano wyjaśnienia, przykłady i wskazówki, dzięki czemu można rozwiązać problemy jako doświadczonego matematyka.

Kroki

Część 1 z 5:

Główne zasady algebraiczne

jeden. Główne operacje matematyczne. Najpierw opanować główne operacje matematyczne: dodatek, odejmowanie, mnożenie i podział. Jest to pierwszy krok na badaniu algebry. Jeśli nie ośmielisz się tych operacji, trudno będzie dowiedzieć się więcej kompleksowych koncepcji algebraicznych. Zalecamy przeczytanie artykułu Jak studiować matematykę.

Niekoniecznie wykonywać operacje matematyczne w umyśle. W większości przypadków będziesz mógł użyć kalkulatora. Lecz lepiej, aby zaspokoić zasady operacji matematycznych ręcznie w przypadku, gdy nie możesz użyć kalkulatora.

Obraz tytułowy Dowiedz się Algebra Krok 2

2. Pamiętaj o prawidłowej procedury wykonywania operacji: Wykonaj wyrażenie w nawiasach, weź stopień, pomnóż, podzielić, składać, odliczyć. Damy odpowiednią procedurę wdrażania operacji matematycznych:

Wyrażenie w nawiasach

Wymieszaj się w stopień

Mnożenie

Podział

Dodanie

Odejmowanie

Procedura operacji wykonywania jest ważna, ponieważ wykonanie operacji nie jest w celu doprowadzenia do nieprawidłowego wyniku. Na przykład, jeśli wyrażenie wynosi 8 + 2 x 5, a następnie składanie 8 i 2, otrzymasz 10 x 5 = 50. A jeśli po raz pierwszy pomnasz 2 i 5, zdobądź 8 + 10 = 18. Drugi wynik jest wierny i pierwszy.

Obraz tytułowy Dowiedz się algebry Krok 3

3. Naucz się pracować z negatywnymi liczbami. Algebra wykorzystuje numery negatywne, więc musisz wiedzieć, jak je dodać, odliczyć, pomnożyć i podzielić. Poniżej znajdują się podstawowe zasady pracy z liczbami ujemnymi.

Numeryczna bezpośrednia liczba ujemna znajduje się w tej samej odległości od zera, ponieważ wartość równa go (ale w przeciwnym kierunku).

Podczas dodawania dwóch numerów ujemnych otrzymasz mniejszą liczbę ujemną (moduł wyników będzie większy niż dwa składane moduły numeryczne, a faktycznie mniej, ponieważ są to liczby ujemne).

Po odjęciu liczbie ujemnej możesz zastąpić dwa znaki "minus" na znaku "plus", to znaczy dodać numer dodatnia.

Podczas mnożenia lub dzielą się dwie liczby ujemne, otrzymasz wynik pozytywny.

Podczas mnożenia lub dzielącej liczby dodatniej i numer ujemny otrzymasz wynik negatywny.

Obraz tytułowy Dowiedz się Algebra Krok 4

cztery. Rozwiązywanie długich wyrażeń. W przeciwieństwie do krótkich wyrażeń do rozwiązywania długich wyrażeń, może być wymagane wiele kroków. Aby uniknąć błędów, każdy krok rozwiązań pisze na nowej linii. Jeśli zdecydujesz się na równanie, spróbuj napisać znaki równości w sobie. Więc łatwiej będzie znaleźć i naprawić błąd.

Na przykład, wyrażenie 9/3 - 5 + 3 x 4. Zdecyduj, jak następuje:

9/3 - 5 + 3 × 4

9/3 - 5 + 12

3 - 5 + 12

3 + 7

Część 2 z 5:

Zmienne

jeden. Zmienne są oznaczone literami. W niektórych wyrażeń algebraicznych wraz z liczbami spotkać obie zmienne. Nie jest tak trudny do pracy jako zmienne, jak się wydaje - po prostu oznaczają wartości, których nie są znane. Poniżej znajdują się przykłady zmiennych:

Listy alfabetu łacińskiego: X, Y, Z, A, B, C
Litery alfabetu greckiego, na przykład θ
Należy pamiętać, że nie wszystkie litery oznaczają zmienne. Na przykład litera Π oznacza numer PI, którego wartość jest znana (31459).

Obraz tytułowy Dowiedz się Algebra Krok 6

2. Pamiętaj, że zmienne są wartościami, których nie są znane. Oznacza to, że teoretycznie jest liczba (lub kilka liczb), które mogą być zastąpione zamiast zmiennej. Często głównym celem rozwiązywania równań algebraicznych jest znalezienie wartości zmiennej.

Na przykład, w równaniu 2x + 3 = 11 "x" jest zmienną. Oznacza to, że istnieje znaczenie "X", w którym lewa strona równania będzie równa 11. Od 2 x 4 + 3 = 11, a następnie x = 4.

Aby lepiej wyjaśnić zmienne w równaniach, zmień je na znak zapytania. Na przykład równanie 2 + 3 + X = 9 można przepisać jako 2 + 3 + ? = 9- W ten sposób musisz dowiedzieć się, jaki numer powinien być dodany do 2 + 3, aby uzyskać 9. Taka liczba to numer 4.

Obraz tytułowy Dowiedz się algebry Krok 7

3. Jeśli zmienna jest obecna w kilku członkach, taka ekspresja może być uproszczona. Aby to zrobić, złożyć lub odliczyć takich członków, czyli członków o tej samej zmiennej (w tym przypadku, te same zmienne powinny być tym samym wskaźnikiem stopnia). Nie jest tak trudne, jak się wydaje. Na przykład, x + x = 2x, ale x + y ≠ 2xy.

Na przykład, należy rozważyć równanie 2x + 1x = 9. W tym przypadku złożyć 2x i 1x: 2x + 1x = 3x, to znaczy, początkowe równanie jest przepisane w postaci 3x = 9. Tak więc x = 3.

Po raz kolejny: członkowie z tymi samymi zmiennymi zostają zakończone i odliczane. W równaniu 2x + 1Y = 9 nie można złożyć 2x i 1y, ponieważ członkowie te są różnymi zmiennymi.

Pamiętaj również, że te same zmienne powinny mieć ten sam wskaźnik. Na przykład, w równaniu 2x + 3x = 10, nie można złożyć 2x i 3x ze względu na różne wskaźniki stopnia. Zalecamy czytanie artykułu Jak dodać stopień.

Część 3 z 5:

Rozwiązanie najprostszych równań

jeden. Aby rozwiązać równanie, oddziel zmienną po jednej stronie równania. Rozwiązaniem równania algebraicznego jest znalezienie wartości zmiennej. Dlatego konieczne jest oddzielenie zmiennej po jednej stronie równania, a numer - po drugiej stronie. Na przykład rozważ równanie X + 2 = 9 x 4.

W naszym przykładzie, do oddzielenia zmiennej "X" konieczne jest przeniesienie 2 po prawej stronie równania. Aby to zrobić, z obu części równania, odliczyć 2 (tak, że wartość równania nie zostanie zmieniona). Otrzymasz x = 9 x 4 - 2 = 36 - 2 = 34.

Obraz tytułowy Dowiedz się algebry Krok 9

2. Gdy numer jest przekazywany przez oznakę równości, operacja matematyczna zmienia się na odwrót - tutaj uważamy działalność dodawania i odejmowania. Aby oddzielić zmienną po jednej stronie równania, musisz przenieść numer znaku równości. Aby to zrobić, konieczne jest odejmowanie lub przybycie tego numeru do obu stron równania. Na przykład, rozważ równanie X + 3 = 0. Tutaj konieczne jest przeniesienie 3 na znak równości. Aby to zrobić, konieczne jest odejmowanie 3 po obu stronach równania, czyli, czyli tak: X + 3 - 3 = 0 - 3. Więc dostajesz x = -3.

Pamiętaj: Jeśli numer zostanie dodany, odlicz go po drugiej stronie równania - jeśli numer zostanie odjęty, dodaj go po drugiej stronie równania.

Usuń numer. Na przykład, x + 9 = 3- x = 3 - 9

Dodatek stonowany numer. Na przykład, x - 4 = 20- x = 20 + 4

Obraz zatytułowany Dowiedz się Algebra Krok 10

3. Podczas przenoszenia numeru poprzez znak równości, operacja matematyczna zmienia się na odwrót - tutaj rozważamy działalność mnożenia i podział. Na przykład, jeśli zmienna zostanie pomnożona przez 3, a następnie podzielić obie strony równania do 3.

Pamiętaj: Jeśli zmienna zostanie pomnożona przez numer, podziel równanie do niego drugą stronę, jeśli zmienna zostanie podzielona na numer, pomnóż drugą stronę równania.

Pomnóż zmianę do podziału. Na przykład 6x = 14 + 2- x = (14 + 2)/ 6

Zmiana decyzji w zakresie mnożenia. Na przykład, x / 5 = 25- x = 25 × 5

Obraz tytułowy Dowiedz się Algebra Krok 11

cztery. Podczas przesyłania numeru za pomocą równego znaku, operacja matematyczna zmienia się na odwrót - tutaj rozważymy budowę korzenia. Zalecamy czytanie artykułu Jak rozwiązywać wyrażenia stopniami. Operacja naprzeciwko ćwiczenia jest ekstrakcja korzenia (i przeciwnie). Na przykład, działanie naprzeciwko konstrukcji kwadratu (w drugim stopniu) jest ekstrakcją korzenia kwadratowego (√) - działanie przeciwnie do budowy kostki (do trzeciego stopnia) jest ekstrakcja korzenia sześciennego (√).

Jeśli zmienna zostanie wzniesiona w stopniu, wyjmij korzeń z obu stron równania. Jeśli koszty zmienne pod znakiem głównym, podjąć stopień w obu części równania.

W przypadku konstrukcji usuń korzeń. Na przykład x = 49- x = √49

W przypadku ekstrakcji korzeni buduj stopień. Na przykład √x = 12- x = 12

Część 4 z 5:

Umiejętności Ottage

jeden. Jeśli nie możesz określić, jak rozwiązać równanie podane, wizualizuj go za pomocą zdjęć lub wykresów. Lub wziąć kilka przedmiotów, takich jak kostki lub monety (jeśli istnieją).

Na przykład, rozwiązuj równanie X + 2 = 3, za pomocą ikony ☐.
x +2 = 3
☒ + ☐☐ = ☐☐☐
Z obu stron równania, odliczyć 2. W tym przypadku po obu stronach równania usuń dwie ikony (☐☐):
☒ + ☐☐-☐☐ = ☐☐☐-☐☐
☒ = ☐, to znaczy x = jeden
Innym przykładem jest 2x = 4.
☒☒ = ☐☐☐☐
Obie strony równania są podzielone na 2. Aby to zrobić, podziel ikony na dwie równe grupy po obu stronach równania.
☒ | ☒ = ☐☐ | ☐☐
☒ = ☐☐, to znaczy x = 2

Obraz tytułowy Dowiedz się algebry Krok 13

2. Podczas rozwiązywania zadania sprawdź równanie, które opracowujesz. Aby to zrobić, zamiast zmiennej, zastępować najprostsze wartości, na przykład, x = 0 lub x = 1, lub x = -1 i dowiedz się, czy równanie ma znaczenie. Na przykład łatwo jest popełnić błąd i napisać p = 6d, a następnie musisz pisać p = D / 6.

Na przykład to zadanie jest podane: Długość boiska do piłki nożnej jest większa niż jego szerokość 30 m. Zrób następujące równanie: L = W + 30. Sprawdź, czy to równanie ma sens - zrobić zamiast zmiennych, zastąpić niektóre wartości. Na przykład, jeśli szerokość W = 10 m, a następnie długość pola L = 10 + 30 = 40 m, jeśli szerokość W = 30 m, a następnie długość pola L = 30 + 30 = 60 m (i tak dalej ). To równanie ma sens, ponieważ z dowolną wartością szerokości długość jest więcej.

Obraz tytułowy Dowiedz się algebry Krok 14

3. Pamiętaj, że odpowiedzi (wartości końcowe) nie zawsze będą liczbami całkowitymi. Mogą być frakcjami dziesiętnymi, frakcjami zwykłymi lub irracjonalnymi. Takie odpowiedzi używają kalkulatora, ale nauczyciel może wymagać odpowiedzi w innej formie.

Na przykład otrzymałeś odpowiedź x = 1250. Z pomocą kalkulatora, uruchom 1250 w siódmym stopniu, a otrzymasz ogromną liczbę. W tym przypadku lepiej jest napisać odpowiedź w postaci x = 1250 lub w reprezentacji wykładniczej.

Obraz zatytułowany Dowiedz się Algebra Krok 15

cztery. Po zbadaniu fundamentów algebry, przejdź do rozkładu wielomianów na mnożnikach. Jest to bardzo zaawansowana technika, która pozwoli Ci reprezentować złożone wielomianów w uproszczonej formie. Zalecamy czytać Ten artykuł. Poniżej znajdują się wskazówki dotyczące rozkładu wielomianów do mnożników.

Wielomiany AX + BA są odrzucane do multiplikatorów A (X + B). Na przykład: 2x + 4 = 2 (x + 2)

Wielomiany AX + BX są odrzucane do mnożników CX ((A / C) X + (b / c)), gdzie C jest największą liczbą, do której karmiono A i B. Na przykład: 3Y + 12Y = 3Y (y + 4)

Wielomiany gatunku X + BX + C są składane do mnożników (X + Y) (X + Z), gdzie Y × Z = C i YX + ZX = BX. Na przykład: x + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1).

Obraz tytułowy Dowiedz się algebry Krok 16

pięć. Ćwicz więcej w rozwiązywaniu równań i zadań. Po prostu mistrz umiejętności algebraicznych. Nie martw się - słuchać uważnie nauczycielem, wykonać pracę domową i, jeśli to konieczne, poproś o nauczyciela lub kolegów z klasy.

Obraz zatytułowany Dowiedz się Algebra Krok 17

6. Zadawaj pytania do nauczyciela, jeśli czegoś nie rozumiesz. Nie musisz niezależnie zrozumieć subtelności algebry, więc zadawaj pytania do twojego nauczyciela. Idź do niego po lekcji i uprzejmie zadać pytanie. Dobry nauczyciel chętnie wyjaśnił Ci niezrozumiały momenty (najprawdopodobniej po lekcjach) i pokaże, jak rozwiązać problemy.

Jeśli z jakiegokolwiek powodu nauczyciel nie pomoże ci, spróbuj w jakiś sposób uzyskać wyjaśnienia inaczej. Na przykład w niektórych szkołach znajdują się obieralne, które odbędą się po zajęciach i które można znaleźć odpowiedzi na swoje pytania. Pamiętaj, że nieśmiało nie wstydzić, aby poprosić o pomoc - wskazuje na twoje zainteresowanie badaniem tematu.

Część 5 z 5:

Badanie innych tematów

jeden. Budowa grafiki funkcji (równania ze zmiennymi X i Y). Wykresy są ważnym elementem Algebry, ponieważ pozwalają na wizualizację informacji dostarczonych przez liczby. W większości przypadków konieczne jest skonstruowanie wykresu równania z dwiema zmiennymi (X i Y) - odbywa się to na dwuwymiarowej płaszczyźnie współrzędnej reprezentowanej przez osi X i Y. Aby zbudować wykres zamiast zmiennej "X", zastępować zdefiniowane wartości, aby znaleźć wartości zmiennej "Y" (lub odwrotnie) - więc otrzymasz sparowane wartości, które są współrzędnymi punktami graficznej.

Na przykład równanie Y = 3x. Dostosuj do niego x = 2 i uzyskać y = 6, czyli, otrzymałeś punkt o współrzędnych (2,6) (dwa wzdłuż X i sześciu osi wzdłuż osi Y).
Równania formularza Y = MX + B (gdzie M i B to liczby) są najczęstszymi równaniami algebraicznymi. Współczynnik kątowy wykresu tego równania jest M, a wykres przecina osi Y = B.

Obraz tytułowy Dowiedz się algebry Krok 19

2. Decyzja nierówności. W przypadku nierówności, zamiast znaku równości, jeden z oznak nierówności. Nierówności ze znakami> (więcej) i < (меньше) решаются аналогично обычным равенствам. В результате вы получите переменную, большую или меньшую определенного значения.

Na przykład rozważ nierówność 3> 5x - 2.

3> 5x - 2

5> 5x

1> x lub X < 1>.

Oznacza to, że zmienna "X" bierze dowolną wartość, mniej niż 1. Oznacza to, że zmienna "X" może być równa 0, -1, -2 i tak dalej. Jeśli zastąpimy te wartości w oryginalnej nierówności, otrzymasz odpowiedź, mniej niż 3.

Obraz zatytułowany Dowiedz się algebry Krok 20

3. Rozwiązanie równań kwadratowych. Są to równania formy AX + BX + C = 0, gdzie liczby A, B, C, i "A" mogą być równe zero, a "B" i "C" nie mogą być równe zero. Takie równania są rozwiązane zgodnie z wzorem X = [-b +/- √ (B - 4AC)] / 2a. Należy pamiętać, że znak +//- wskazuje możliwość posiadania dwóch korzeni.

Na przykład, rozważ równanie kwadratowe 3x + 2x -1 = 0.

x = [-b +/- √ (B - 4AC)] / 2a

X = [-2 +/- √ (2 - 4 (3) (- 1))] / 2 (3)

x = [-2 +/- √ (4 - (-12))] / 6

x = [-2 +/- √ (16)] / 6

X = [-2 +/- 4] / 6

x1 = -jeden i x2 = 1/3

Obraz zatytułowany Dowiedz się algebry Krok 21

cztery. Rozwiązanie systemów równań. System równań obejmuje kilka równań. Rozwiązanie równań systemowych nie jest tak trudne, jak się wydaje. Wielu nauczycieli wymaga rozwiązania równań systemu za pomocą wykresów. Jeśli system równań obejmuje dwa równania, roztwór systemu jest współrzędnymi przecięcia wykresów dwóch równań.

Na przykład system równań Y = 3x - 2 i Y = -X - 6. Jeśli budujesz wykresy obu równań, otrzymasz zwiększanie bezpośrednich i opadających bezpośrednio bezpośredni, co przecina się w punkcie z koordynatami (-1, -5). Jest to rozwiązanie systemu równań.

Jeśli chcesz sprawdzić odpowiedź, zastępuj znalezione wartości w równaniu.

Y = 3x - 2

-5 = 3 (-1) - 2

-5 = -3 - 2

-5 = -5

y = -X - 6

-5 = - (- 1) - 6

-5 = 1 - 6

-5 = -5

Obserwuje się równość!

Rada

W Internecie istnieje wiele przydatnych zasobów dla osób uczących się algebry. W poszukiwaniu w wyszukiwarce wprowadź coś takiego jak "Pomoc na Algebra". Znajdziesz tu również setki przydatnych artykułów na Algebry na stronie internetowej po.panoutx.info.
Jeśli napotkałeś problemy, otwórz witrynę Videourokionline.RU lub asystent szkoły.Ru. Tam znajdą Państwo wskazówki i zadania na różnych przedmiotach, w tym algebry.
Pamiętaj, że pomoc jest lepsza, aby skontaktować się z ludźmi, których znasz. Na przykład skontaktuj się z przyjaciółmi lub kolegami z klasy, jeśli nie rozumiesz temat ostatniej lekcji algebry.