Jak zrozumieć algebrę (z ilustracjami)

Początkowo Algebra może wydawać się złożony temat. Ale jeśli stworzysz bazę początkowej wiedzy matematycznej i naucz się niektórych koncepcji algebraicznych, ten przedmiot da ci znacznie łatwiej. Aby rozwiązać zadanie algebraiczne, musisz wykonać szereg kolejnych nieskomplikowanych operacji. W tym przypadku początkowe zadanie jest podawane do tego formularza, że jest bardzo łatwy w rozwiązaniu.

Kroki

Część 1 z 5:

Definiowanie celów

jeden. Starannie przeczytaj stan zadania. Konieczne jest dowiedzenie tego, co należy zrobić w tym zadaniu. Zwróć uwagę na słowa kluczowe "zdecyduj", "Uprość", "rozkład" lub "cięcie". Słowa te najczęściej występują w warunkach zadań (chociaż są inne). Pamiętaj, że nie musisz "zdecydować" zadanie, jeśli jest to wymagane do "uproszczenia".

Obraz zatytułowany Rozumienia algebry Krok 2

2. Postępuj zgodnie z odpowiednimi działaniami. Według słów kluczowych w stanie zadania możesz określić, które działania muszą być wykonane. Nie marnuj czasu na działania, które nie muszą być wykonywane w tym zadaniu. Główne działania to:

Zdecydować. Tutaj należy znaleźć rzeczywiste rozwiązanie numeryczne, na przykład wartość zmiennej x = 4.

Uproszczać. Tutaj początkowe równanie (lub nierówność) należy przepisać w prostszej formie, ale roztwór numeryczny (wartość zmiennej) nie jest wymagana.

Rozkład na mnożnikach. Działanie ta jest podobna do "uproszczenia" i zwykle stosuje się do złożonych wielomianów i frakcji. Tutaj wyrażenie algebraiczne (lub liczba) musi być rozkładana na wielu mnożnikach. Na przykład liczba 12 może być rozkładana na mnożnikach 3x4- Podobnie jak mnożniki mogą być rozkładane wielomian algebraiczny.

Na przykład wyrażenie

pięć X

można rozkładać się na mnożnikach

pięć

X

Na przykład wyrażenie

X 2 + 3 X + 2

$x ^ {2} + 3x + 2$ można rozkładać się na mnożnikach

(X + 2)

(X + jeden)

Skaleczenie. Tutaj musisz pozbyć się niektórych członków wyrażenia, aby nagrać początkową ekspresję w prostszej formie. Redukcja obejmuje rozkład mnożników i uproszczenia. Potrzeba rozkładu licznika i mianownika. Następnie znajdź tych samych członków w liczniku i mianownikach i je cięcie. Uzyskane wyrażenie będzie "skrócona" forma początkowej ekspresji. Na przykład zmniejsz wyrażenie

6 X 2 2 X

${Frac {6x ^ {2}} {2x}}$ w następujący sposób:

jeden. Rozłóż licznik i mianownik na mnożnikach:

(3) (2) (X) (X) (2) (X)

2. Znajdź tych samych członków. W liczbie i mianowniku są "2" i "x".

3. Zmniejsz tego samego członków:

(3) (2) (X) (X) (2) (X)

cztery. Zapisz skrócony wyraz:

3 X

Obraz zatytułowany rozumie algebra krok 3

3. Pamiętaj o różnicy między "wyrażeniem" a "równaniem". W Algebrze różnica między "wyrażeniem" a "równaniem" jest bardzo znacząca. Wyrażenie jest dowolną grupą liczb i zmiennych związanych z operatorami matematycznymi. Niektóre przykłady wyrażeń:

X 2

$x ^ {2}$ ,

czternaście X y Z

\sqrt{2 X + piętnaście}

. Wyrażenie można rozkładać na mnożnikach, uprościć, zmniejszyć, ale nie rozwiązać. Równanie koniecznie zawiera znak równości "=". Równanie można rozkładać na mnożniki, uprościć, zmniejszyć i zdecydować, czyli, aby uzyskać rozwiązanie numeryczne.

Na przykład, jeśli wyrażenie zostanie podane

cztery X 2

$4x ^ {2}$ , Nie otrzymasz jednego rozwiązania numerycznego. Możesz to znaleźć, jeśli

X = jeden

, wtedy wyrażenie jest 4, a jeśli

X = 2

, Ten wyraz jest równy

(cztery) (2) 2

$(4) (2) ^ {2}$ = 16. Ale jedyne rozwiązanie nie będzie (odpowiedź).

Część 2 z 5:

Kolejność operacji

jeden. Pamiętaj o właściwej procedurze wykonania operacji matematycznych. W Algebrze absolutnie wszystkie operacje matematyczne są wykonywane w określonej kolejności. Oto:

działanie w nawiasach;
ćwiczenie;
mnożenie;
podział;
dodanie;
odejmowanie.

Obraz zatytułowany Rozumienia algebry Krok 5

2. Najpierw wykonaj operacje wewnątrz wsporników. Jeśli podano wyrażenie lub równanie, których niektórzy członkowie są zamknięte w nawiasach, najpierw musisz wykonać operacje wewnątrz wsporników. Rozważ różnicę między wyrazami

pięć * 3 + 2

pięć * (3 + 2)

Pierwsze wyrażenie (bez wsporników):

pięć * 3 + 2

piętnaście + 2 = 17

Druga wyrażenie (z nawiasami):

pięć * (3 + 2)

pięć * pięć = 25

(Tutaj złożyliśmy 3 + 2 = 5).

Obraz zatytułowany rozumie algebra krok 6

3. Następna erekcja do stopnia. Ćwiczenie to drugi krok we właściwej kolejności operacji. Na przykład, wyrażenie jest podane

3 * 2 2

$3 * 2 ^ {2}$ . Jeśli nie postępujesz zgodnie z kolejnością operacji, najpierw musisz pomnożyć:

3 * 2 = 6

, a następnie zbuduj kwadrat: 6 ^ 2 = 36, ale więc masz niewłaściwy wynik. Oto jak znaleźć właściwą decyzję:

3 * 2 2

$3 * 2 ^ {2}$

3 * cztery

(najpierw wyprostuj się na placu).

12

(To jest właściwy wynik).

Obraz zatytułowany Rozumienia algebry Krok 7

cztery. Pomnóż lub podziel zaczynając po lewej stronie. Kiedy wypróbujesz coś w dyplom, wykonaj operacje mnożenia i podziału - zacznij od lewej strony wyrażenia.

3 + cztery * 2 - 6 / 3

3 + osiem - 2

, gdzie 4 * 2 = 8 i 6/3 = 2.

Obraz zatytułowany Rozumienia algebry Krok 8

pięć. Złożyć lub odliczyć po lewej stronie. Wszystko, co pozostaje do zrobienia, to odliczenie lub złożyć członków wyrażenia, zacznij po lewej stronie wyrażenia. Na przykład, wyrażenie jest podane

cztery + 2 - 3 - jeden - pięć + 2

cztery + 2 - 3 - jeden - pięć + 2

6 - 3 - jeden - pięć + 2

(złożone 4 + 2)

3 - jeden - pięć + 2

(odliczone 6-3)

2 - pięć + 2

(odliczone 3-1)

- 3 + 2

(odliczone 2-5)

- jeden

(złożony -3 + 2)

Jeśli wykonujesz operacje w innym zamówieniu, otrzymasz nieprawidłowy wynik. Na przykład, przypuśćmy, że po raz pierwszy wszyscy złożyłeś, a następnie odliczono:

cztery + 2 - 3 - jeden - pięć + 2

6 - 3 - jeden - 7

(4 + 2 i 5 + 2)

3 - jeden - 7

(odliczone 6-3)

2 - 7

(odliczone 3-1)

- pięć

(Lód 2-7. Otrzymał wynik -5, który jest nieprawidłowy)

Część 3 z 5:

Praca z zmiennymi

jeden. Użyj znaków innych niż liczby. Kiedy zacząłeś uczyć się matematyki, pracowałeś tylko z liczbami. W Algebry musisz być w stanie rozwiązać równania z nieznanymi członkami. W równaniach nieznane członkowie są reprezentowani literami o nazwie zmiennych. Traktuj takie listy co do numerów, chociaż nadal nie znasz swoich rzeczywistych wartości. Oto najczęstsze zmienne:

Łacińskie litery, takie jak $X$ , $y$ i $Z$ ;
Greckie litery, takie jak $θ$ , $α$ i $Σ$ .
Niektóre znaki są podobne do zmiennych, ale nie są takie. Na przykład, grecka litera Π oznacza numer PI, którego wartość jest znana: 3,1415.

Obraz zatytułowany Rozumienia Algebra Krok 10

2. Rozważ zmienną jako nieznany numer. Na przykład, jeśli mówi "dwa pomnożone przez jakiś numer", może być napisany jako wyrażenie

2 * X

. Zmienna

X

Zastępuje nieznany numer ("jakiś numer"). W większości zadań algebraicznych musisz znaleźć wartość zmiennej.

Na przykład podano równanie

cztery + X = dziewięć

. Tutaj należy dowiedzieć się, jaki numer musisz dodać do 4, aby uzyskać 9. Odpowiedź jest numer 5, który można napisać jako

X = pięć

Obraz zatytułowany rozumie algebra krok 11

3. Przynieś (złożyć lub odliczyć) podobne (identyczne) członków (w tych zmiennych przypadku). Jeśli rozważymy zmienne jako liczby, mogą być złożone i potrącane. Taka akcja nazywa się "przynoszącaki takich członków".

Na przykład podano równanie

2 X + 3 X = 10

. W nim dwa zmienne są dodawane do trzech w tej samej zmiennej, a wszystkie wyrażenie wynosi 10.Jeśli masz dwa i trzy identyczne obiekty, mogą być złożone. W naszym przykładzie

2 X + 3 X

= 5x, więc początkowe równanie zostanie zapisane w następujący sposób:

pięć X = 10

, A rozwiązanie jest takie:

X = 2

Możesz określić tylko te same (identyczne) zmienne. Pamiętaj, że w niektórych równań jest kilka różnych zmiennych. Na przykład w równaniu

2 X + 3 y = 10

zmienne

X

y

Niemożliwe jest składanie, ponieważ są różne, to znaczy wymiana różnych nieznanych liczb.

Część 4 z 5:

Operacje odwrotne

jeden. Pamiętaj, jaka jest odwrotna operacja (akcja do tyłu). Operacje odwrotne odgrywają dużą rolę w algebry. Odwrotnie oznacza odwrotnie. Odwrotne działania pozwalają uprościć zadanie. Na przykład, jeśli zadanie ma operację mnożenia, użyj podziału, który jest odwrotną akcją, aby pomnożyć, aby rozwiązać zadanie.

Odwróć adres działania - odejmowanie.
Operacja odwrotna do odejmowania - dodatek.
Operacja odwrotna do mnożenia - Wydział.
Operacja odwrotna - mnożenie.
Odwrotna obsługa zakładania - ekstrakcja korzenia (korzenia kwadratowe, korzeń sześcienny i tak dalej).

Obraz zatytułowany rozumie algebra krok 13

2. Izoluj zmienne. Jeśli potrzebujesz "zdecydować" równanie, oznacza to, że konieczne jest dojście do równości

X =

__, gdzie zamiast pustego miejsca jest liczba. Skorzystaj z operacji matematycznych do zmiennej

X

pozostał z jednej strony równania, a wszyscy inni członkowie są po drugiej stronie równania. Można to zrobić za pomocą operacji odwrotnych.

Pamiętaj: Dowolna operacja wykonana z jednej strony równania musi być wykonana po drugiej stronie. Tylko więc wartość równania źródła nie zmieni.

Obraz zatytułowany rozumie algebra krok 14

3. Pozbądź się dodatnich liczb przy użyciu operacji odejmowania (i odwrotnie). Jeśli na równaniu zmiennej dodawana jest na równaniu zmiennej, pozbyj się go za pomocą odwrotnej pracy, aby wyizolować zmienną.

Na przykład w równaniu

X + 3 = 7

Musisz izolować zmienną

X

. Członek odwrotny K

+ 3

jest penisem

- 3

. Pamiętaj, że każda operacja musi być wykonana po obu stronach równania. Więc:

X + 3 = 7

X + 3 - 3 = 7 - 3

(Wykryto 3 po obu stronach równania)

X = cztery

(3-3 = 0)

Przykład innego równania z odejmowaniem:

X - osiem = 12

X - osiem + osiem = 12 + osiem

(dodano 8 do obu stron równania)

X = dwadzieścia

(8-8 = 0)

Obraz zatytułowany rozumie algebra krok 15

cztery. Pozbądź się numeru, który jest pomnożony przez zmienną za pomocą operacji podziału (i odwrotnie). Na przykład członek

3 X

Możesz napisać tak:

3 * X

. Aby wyizolować zmienną, zastosuj operację podziału. Nie zapomnij podzielić obu stron równania.

Rozważ równanie

3 X = 24

. Tutaj 3 jest pomnożone przez "X", więc dzielimy się:

3 X = 24

3 X 3 = \frac{24}{3}

${Frac {3x} {3}} = {frac {24} {3}}$ (Podziel obie strony równania do 3. Należy pamiętać, że symbol rozszczepienia

\div

Zwykle nie jest używany w algebry - członkowie równania / wyrażenia są rejestrowane jako frakcja.)

X = osiem

(w frakcji po lewej stronie 3 w liczniku i 3 w mianowniku są zmniejszone)

Rozważ inne równanie z podziałem

\frac{X}{cztery} = dziewięć

\frac{X}{cztery} = dziewięć

\frac{X}{cztery} * cztery = dziewięć * cztery

(Pomnóż obie strony równania do 4)

X = 36

(W frakcji po lewej stronie 4 w liczniku i 4 w mianowniku są zmniejszone)

Obraz zatytułowany Rozumienia algebry Krok 16

pięć. Użyj kombinacji dodawania / odejmowania i mnożenia / dywizji. Jeśli podano bardziej złożone zadanie, będziesz musiał wykonać kilka operacji, aby wyizolować zmienną. Najpierw zastosuj dodatek lub odejmowanie, aby wyizolować zmienną ze współczynnikiem. Następnie, używając mnożenia lub podziałów, pozbyć się współczynnika, aby znaleźć rozwiązanie.

3 X + pięć = 23

3 X + pięć - pięć = 23 - pięć

(Pierwsze odliczenie 5 z obu stron równania)

3 X = osiemnaście

(5-5 = 0)

3 X 3 = \frac{osiemnaście}{3}

${Frac {3x} {3}} = {frac {18} {3}}$ (Podziel obie strony równania do 3)

X = 6

(w frakcji po lewej stronie 3 w liczniku i 3 w mianowniku są zmniejszone)

Obraz zatytułowany rozumie algebra krok 17

6. Sprawdź wynik. Aby dowiedzieć się, czy prawidłowo rozwiązałeś równanie, sprawdź otrzymaną odpowiedź. W tym wyniku substytut (zamiast zmiennej) w oryginalnym równaniu. Jeśli zaobserwowano równość, rozwiązanie jest poprawne.

W naszym przykładzie

3 X + pięć = 23

Znaleźliśmy to

X = 6

. Zamiast "X" substytutu 6:

3 X + pięć = 23

3 (6) + pięć = 23

(Drugła wartość

X = 6

)

osiemnaście + pięć = 23

(Uprość równanie)

23 = 23

(równość jest obserwowana, więc

X = 6

jest właściwą decyzją)

Część 5 z 5:

Tworzenie bazy wiedzy matematycznej

jeden. Naucz się cieszyć podstawowymi operatorami matematycznymi. Algebra jest systemem pracy z liczbami i operacjach matematycznych, która jest niezbędna do rozwiązywania problemów. Studiowanie algebry musisz znać podstawowe zasady rozwiązania problemów. Aby nauczyć się zasad, musisz dobrze zrozumieć i być w stanie zastosować podstawowe operacje matematyczne, takie jak dodatek, odejmowanie, mnożenie i podział. W szczególności musisz być w stanie:

Szybko złóż i odliczanie jednoznacznych liczb - w porządku, jeśli wiesz, jak pracować z dwucyfrowymi liczbami;
znać tabelę mnożenia od 1 do 12;
Znać dzielniki i mnożniki cyfr do daty 144 (12x12).

Obraz zatytułowany rozumie algebra krok 19

2. Poznaj zasady działania z frakcjami. W algebry akcji z frakcjami występuje bardzo często. Musisz znaleźć wspólny mianownik, fałd i odliczyć frakcję, a także pomnożyć i podzielić je. Poznaj podstawę działania z frakcjami, aby nauczyć się rozwiązywać równania z frakcjami.

Sprawdź informacje zwrotne. Jest to frakcja, w której zmieniają się numerator i mianownik w miejscach. To znaczy, że

\frac{2}{3}

to A

\frac{3}{2}

, i dla

\frac{cztery}{pięć}

frakcja

\frac{pięć}{cztery}

. Frakcje odwrotne są używane zamiast dzielenia działalności w złożonych zadaniach. Zamiast dzielić frakcję, pomnóż ją na odwrót.

Obraz zatytułowany rozumie algebra krok 20

3. Naucz się pracować z negatywnymi liczbami. Negatywne liczby i zmienne są bardzo często znalezione w zadaniach. Musisz być w stanie dodać, odjąć, pomnożyć i dzielić negatywne liczby i zmienne, aby zrozumieć algebrę. Poniżej znajdują się podstawowe zasady pracy z liczbami ujemnymi.

Na Numeryczny Direct Odległość od zera do liczby ujemnej jest taka sama jak pozytywna, tylko ta odległość jest mierzona po lewej stronie.

Jeśli składasz dwa numery ujemne, otrzymasz numer ujemny, który na linii numerycznej leży od zera (niż każda ze składanych numerów).

Dwa "minus" daj "plus". Oznacza to, że odejmowanie liczby ujemnej jest równoważne dodawaniu liczby dodatniej.

4 - (- 3) można napisać tak: 4 + 3 = 7.

Mnożenie lub podział dwóch liczb ujemnych daje numer dodatniej.

Mnożenie lub podział jednej liczby dodatniej i jedną liczbę ujemną daje liczbę ujemną.

Rada

Stale uczyć się. Odwiedź lekcje / wykłady i wykonaj zadania fajne / audytu i zadań domowych. Pamiętaj: Aby zrozumieć algebrę, musisz regularnie praktykować w rozwiązywaniu problemów.
Komunikuj się z nauczycielem / nauczycielem. Jeśli masz jakieś pytania lub trudności, skontaktuj się z nauczycielem / nauczycielem. Niektóre algebry można łatwo podać, a inne nie są zbyt. Najprawdopodobniej nauczyciel / nauczyciel znajdzie sposób na wyjaśnienie tego tematu bardziej dostępne. Nie poddawaj się - lepiej poproś o pomoc.
Zawsze sprawdzaj odpowiedź. Po wybraniu równania wartość została zastąpiona w oryginalnym równaniu, aby sprawdzić odpowiedź.
Pamiętaj, że jeśli inna para wsporników jest dołączona w nawiasach, najpierw postępuj zgodnie z krokami w wspornikach wewnętrznych, a następnie w nawiasach zewnętrznych.