Jak rozwiązać zadania z stopniami -

Stopień służy do uproszczenia rejestracji mnożenia liczby siebie. Na przykład zamiast nagrywania $cztery * cztery * cztery * cztery * cztery$ 4 * 4 * 4 * 4 * 4 może być napisany $cztery pięć$ $4 ^ {5}$ (Wyjaśnienie tego przejścia podano w pierwszej części tego artykułu). Stopnie umożliwiają uproszczenie pisma długich lub złożonych wyrażeń lub równań jest również łatwo składane i odejmowane, co prowadzi do uproszczenia ekspresji lub równania (na przykład, $cztery 2 * {cztery}^{3} = {cztery}^{pięć}$ $4 ^ {2} * 4 ^ {3} = 4 ^ {5}$ ).

Uwaga: Jeśli potrzebujesz rozwiązania równania orientacyjnego (w tym równaniu, nieznany jest w wskaźniku w wskaźniku), czytaj Ten artykuł.

Kroki

Metoda 1 z 3:

Rozwiązanie najprostszych zadań z stopniami

jeden. Terminologia. Na przykład, biorąc pod uwagę stopień

23

$2 ^ {3}$ . Tutaj 2 jest Stopień fundamentu, i 3 to wykładnik potęgowy. Numer

23

$2 ^ {3}$ wyrażony tak: dwa w trzecim stopniu lub dwa na Kubie.

Jeśli rysunek jest obecny 2, na przykład, $pięć 2$ $5 ^ {2}$ , Wtedy taki wskaźnik jest nazywany Kwadrat, Oznacza to, że nasz przykład jest wyrażony tak: pięć na placu.
Jeśli rysunek jest obecny 3, na przykład, $103$ $10 ^ {3}$ , Wtedy taki wskaźnik jest nazywany Kuba, Oznacza to, że nasz przykład jest wyrażony tak: dziesięć na Kubie.
Jeśli liczba nie ma wskaźnika stopnia, oznacza to, że liczba jest równa 1. na przykład, $cztery = cztery jeden$ $4 = 4 ^ {1}$ .
Dowolna liczba (frakcja, ekspresja) wzniesiona do stopnia zerowego, równa 1, czyli $cztery 0 = jeden$ $4 ^ {0} = 1$ lub $(3 / osiem)^{0} = jeden.$ $(3/8) ^ {0} = 1$ Więcej informacji można znaleźć w sekcji "Porady".

Obraz zatytułowany Rozwiązanie EKSPONENTS Krok 2

2. Pomnóż fundament samym stopnia według liczby czasów równych wskaźnikowi stopnia. Jeśli potrzebujesz ręcznie rozwiązać zadanie z stopniami, przepisać stopień w postaci operacji mnożenia, w którym fundament stopnia jest pomnożony przez siebie. Na przykład, biorąc pod uwagę stopień

3 cztery

$3 ^ {4}$ . W takim przypadku podstawa stopnia 3 musi być pomnożona przez siebie 4 razy:

3 * 3 * 3 * 3

. Oto inne przykłady:

cztery pięć = cztery * cztery * cztery * cztery * cztery

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

osiem 2 = osiem * osiem

$8 ^ {2} = 8 * 8$

Dziesięć na Kubie

= 10 * 10 * 10

Obraz zatytułowany Rozwiązanie Eksyds Krok 3

3. Aby rozpocząć mnożenie pierwszych dwóch liczb. na przykład,

cztery pięć

$4 ^ {5}$ =

cztery * cztery * cztery * cztery * cztery

. Nie martw się - proces obliczania nie jest tak skomplikowany, ponieważ wydaje się na pierwszy rzut oka. Najpierw pomnóż pierwsze dwa cztery, a następnie zastąp je wynikiem. Lubię to:

cztery pięć = cztery * cztery * cztery * cztery * cztery

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

cztery * cztery = szesnaście

$cztery pięć = szesnaście * cztery * cztery * cztery$ $4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

Obraz zatytułowany Solve Exponents Krok 4

cztery. Pomnóż wynik (w naszym przykładzie 16) na następną liczbę. Każdy późniejszy wynik zostanie proporcjonalnie zwiększony. W naszym przykładzie pomnożyć 16 do 4. Lubię to:

cztery pięć = szesnaście * cztery * cztery * cztery

$4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

szesnaście * cztery = 64

$cztery pięć = 64 * cztery * cztery$ $4 ^ {5} = 64 * 4 * 4$

64 * cztery = 256

$cztery pięć = 256 * cztery$ $4 ^ {5} = 256 * 4$

256 * cztery = 1024

Kontynuuj pomnożyć wynik mnożenia dwóch pierwszych numerów do następnego numeru, aż otrzymasz ostateczną odpowiedź. Aby to zrobić, zmień dwie pierwsze liczby, a następnie wynik jest pomnożony przez następny numer w sekwencji. Ta metoda jest ważna dla każdego stopnia. W naszym przykładzie powinieneś dostać: $cztery pięć = cztery * cztery * cztery * cztery * cztery = 1024$ $4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024$ .

Obraz zatytułowany Rozwiązanie Eksyds Krok 5

pięć. Zdecyduj następujące zadania. Sprawdź czek w kalkulatorze.

osiem 2

$8 ^ {2}$

3 cztery

$3 ^ {4}$

107

$10 ^ {7}$

Obraz zatytułowany Rozwiązanie Eksyds Krok 6

6. Na kalkulatorze znajdź klucz wskazany jako "EXP" lub "XN{displaystyle x ^ {n}} $x ^ {n}$ "Lub" ^ ". Z tym kluczem podnosisz numer do stopnia. Oblicz zakres z dużym wskaźnikiem ręcznym niemożliwym (na przykład stopień

dziewięć piętnaście

$9 ^ {{15}}$ ), ale kalkulator łatwy jest z tym zadaniem. W systemie Windows 7 standardowy kalkulator można przełączyć w tryb inżynieryjny - dla tego kliknięcia "Widok" -> "Inżynieria". Aby przełączyć się na tryb normalny, kliknij "Widok" -> "Normalny".

Sprawdź odpowiedź otrzymaną przez Google. Korzystając z klucza "^" na klawiaturze komputera, wprowadź wyraz w wyszukiwarce, który natychmiast wyświetla poprawną odpowiedź (i może zaoferować podobne wyrażenia do studiowania).

Metoda 2 z 3:

Dodatek, odejmowanie, mnożenie stopni

jeden. Aby złożyć i odliczyć stopnie tylko wtedy, gdy mają te same podstawy. Jeśli chcesz dodać stopnie za pomocą tych samych zasad i wskaźników, możesz wymienić działanie dodawania operacji mnożenia. Na przykład, wyrażenie jest podane

cztery pięć + {cztery}^{pięć}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5}$ . Pamiętaj, że stopień

cztery pięć

$4 ^ {5}$ może być reprezentowany jako

jeden * cztery pięć

$1 * 4 ^ {5}$ - w ten sposób,

cztery pięć + {cztery}^{pięć} = jeden * {cztery}^{pięć} + jeden * {cztery}^{pięć} = 2 * {cztery}^{pięć}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 1 * 4 ^ {5} + 1 * 4 ^ {5} = 2 * 4 ^ {5}$ (gdzie 1 +1 = 2). Oznacza to, że rozważ liczbę podobnych stopni, a następnie pomnożyć taki stopień, a to jest numer. W naszym przykładzie opracuj 4 w piątym stopniu, a następnie uzyskany wynik pomnożyć przez 2. Pamiętaj, że operacja dodatkowa może być zastąpiona na przykład przez operację mnożenia,

3 + 3 = 2 * 3

. Oto inne przykłady:

$32 + 3^{2} = 2 * 3^{2}$ $3 ^ {2} + 3 ^ {2} = 2 * 3 ^ {2}$
$cztery pięć + {cztery}^{pięć} + {cztery}^{pięć} = 3 * {cztery}^{pięć}$ $4 ^ {5} + 4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 3 * 4 ^ {5}$
$cztery pięć - {cztery}^{pięć} + 2 = 2$ $4 ^ {5} -4 ^ {5} + 2 = 2$
$cztery X 2 - 2 X^{2} = 2 X^{2}$ $4x ^ {2} -2x ^ {2} = 2x ^ {2}$

Obraz zatytułowany Rozwiązanie Eksyds Krok 8

2. Podczas rozmnażania stopni o tej samej podstawie ich wskaźniki są złożone (podstawa się nie zmieni). Na przykład, wyrażenie jest podane

X 2 * X^{pięć}

$x ^ {2} * x ^ {5}$ . W takim przypadku wystarczy złożyć wskaźniki, pozostawiając podstawę niezmienionej. W ten sposób,

X 2 * X^{pięć} = X^{7}

$x ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$ . Oto wizualne wyjaśnienie tej zasady:

X 2 * X^{pięć}

$x ^ {2} * x ^ {5}$

X 2 = X * X

$x ^ {2} = x * x$

X pięć = X * X * X * X * X

$x ^ {5} = x * x * x * x * x$

X 2 * X^{pięć} = (X * X) * (X * X * X * X * X)

$x ^ {2} * x ^ {5} = (x * x) * (x * x * x * x * x)$

Ponieważ podstawa jest mnożona sama, możemy przesłać to w następującym formularzu:

X 2 * X^{pięć} = X * X * X * X * X * X * X

$x ^ {2} * x ^ {5} = x * x * x * x * x * x * x$

$X 2 * X^{pięć} = X^{7}$ $x ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$

Obraz zatytułowany Rozwiązanie Eksyds Krok 9

3. Gdy stopień zostanie podniesiony do stopnia, wskaźniki są zmienne. Na przykład, biorąc pod uwagę stopień

(X 2)^{pięć}

$(x ^ {2}) ^ {5}$ . Ponieważ wskaźniki stopnia są wtedy zmienne

(X 2)^{pięć} = X^{2 * pięć} = X^{10}

$(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {{2 * 5}} = x ^ {{10}}$ . Znaczenie tej zasady jest mnożenie stopnia

(X 2)

$(x ^ {2})$ za pięć razy. Lubię to:

(X 2)^{pięć}

$(x ^ {2}) ^ {5}$

(X 2)^{pięć} = X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2}

$(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2}$

Ponieważ podstawa jest taka sama, wskaźniki stopnia po prostu dodają: $(X 2)^{pięć} = X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2} = X^{10}$ $(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} = x ^ {{10}}$

Obraz zatytułowany Rozwiązanie Eksyds Krok 10

cztery. Stopień z ujemnym wskaźnikiem powinien zostać przekształcony w frakcję (w odwrocie). Nie kłopoty, jeśli nie wiesz, co odwraca. Jeśli masz na przykład stopień z wskaźnikiem negatywnym,

3 - 2

$3 ^ {{- 2}}$ , Zapisz ten stopień w mianownikach spodni (w liczniku, umieść 1) i uczynić wskaźnik pozytywny. W naszym przykładzie:

\frac{jeden}{3} 2

${Frac {1} {3 ^ {2}}}$ . Oto inne przykłady:

pięć - 10 = \frac{jeden}{pięć} 10

$5 ^ {{- 10}} = {frac {1} {5 ^ {{{10}}}}$

3 X - cztery = \frac{3}{X} cztery

$3x ^ {{- 4}} = {frac {3} {x ^ {4}}}$

Obraz zatytułowany Solve Exponents Krok 11

pięć. Podczas podzielenia stopni o tej samej podstawie ich wskaźniki są odjęte (podstawa się nie zmieni). Działanie podziału jest przeciwieństwem operacji mnożenia. Na przykład, wyrażenie jest podane

cztery cztery {cztery}^{2}

${Frac {4 ^ {4}} {4 ^ {2}}}$ . Usuń wskaźnik stopnia w mianowniku, z wskaźnika stopnia stojącego w liczniku (nie zmieniaj podstawy). W ten sposób,

cztery cztery {cztery}^{2} = {cztery}^{cztery - 2} = {cztery}^{2}

${Frac {4 ^ {4}} {4 ^ {2}}} = 4 ^ {{4-2}} = 4 ^ {2}$ = szesnaście.

Stopień skierowany do mianowniku można napisać w tym formularzu:

\frac{jeden}{cztery} 2

${Frac {1} {4 ^ {2}}}$ =

cztery - 2

$4 ^ {{- 2}}$ . Pamiętaj, że frakcja jest liczbą (stopień, ekspresja) z negatywnym wskaźnikiem stopnia.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie Eksyds Krok 12

6. Poniżej znajdują się jakieś wyrażenia, które pomogą Ci nauczyć się rozwiązywać zadań z stopniami. Wyrażenia te obejmują materiał określony w tej sekcji. Aby zobaczyć odpowiedź, po prostu podświetl pustą przestrzeń po znaku równości.

pięć 3

$5 ^ {3}$ = 125

22 + 2^{2} + 2^{2}

$2 ^ {2} + 2 ^ {2} + 2 ^ {2}$ = 12

X jeden 2 - 2 X^{jeden} 2

$x ^ {1} 2-2x ^ {1} 2$ = -x ^ 12

y 3 * y

$y ^ {3} * y$ =

y cztery

$y ^ {4}$ Pamiętaj, że dowolny numer jest stopniem z wskaźnikiem 1

(P 3)^{pięć}

$(Q ^ {3}) ^ {5}$ =

P jeden pięć

$Q ^ {1} 5$

R pięć R^{2}

${Frac {r ^ {5}} {r ^ {2}}}$ =

R 3

$R ^ {3}$

Metoda 3 z 3:

Rozwiązywanie zadań z wskaźnikami frakcyjnymi

jeden. Stopień z wskaźnikiem frakcyjnym (na przykład, Xjeden2{DisplayStyle x ^ {frac {1} {2}}} $X ^ {{{frac {1} {2}}}}$ ) jest konwertowany na ekstrakcję korzenia. W naszym przykładzie:

X \frac{jeden}{2}

$X ^ {{{frac {1} {2}}}}$ =

\sqrt{X}

. Nie ma tu znaczenia, jaki numer jest w mianowniku wskaźnika ułamkowego stopnia. na przykład,

X \frac{jeden}{cztery}

$X ^ {{{frac {1} {4}}}}$ - jest to korzenie czwartego stopnia od "X", to znaczy

X cztery

Działanie ekstrakcji korzeniowej powraca w stosunku do operacji ćwiczeń. Na przykład, jeśli root $X cztery$ zbuduj czwarty stopień, dostaniesz "x", a także $szesnaście cztery = 2$ Możesz sprawdzić w następujący sposób: $2 cztery = szesnaście$ $2 ^ {4} = 16$ . Inny przykład: jeśli $X cztery = 2$ , że $2 cztery = X$ $2 ^ {4} = x$ - w ten sposób, $X = 2$ .

Obraz zatytułowany Rozwiązanie Eksyds Krok 14

2. Jeśli wskaźnik jest nieregularną frakcją, wtedy taki stopień można rozkładać dwa stopnie, aby uprościć rozwiązanie problemu. W tym nie ma nic skomplikowanego - pamiętaj tylko o zasadzie mnożenia przez stopnie. Na przykład, biorąc pod uwagę stopień

X \frac{pięć}{3}

$X ^ {{{frac {5} {3}}}}}$ . Odwróć taki stopień do korzenia, którego stopień będzie równy mianownikowi wskaźnika ułamkowego, a następnie podjąć ten korzeń w stopniu równy numeru rozdzielacza. Aby to zrobić, pamiętaj o tym

\frac{pięć}{3}

(\frac{jeden}{3}) * pięć

. W naszym przykładzie:

X \frac{pięć}{3}

$X ^ {{{frac {5} {3}}}}}$

X \frac{pięć}{3} = X^{pięć} * X^{\frac{jeden}{3}}

$x ^ {{{frac {5} {3}}}} = x ^ {5} * x ^ {{{frac {1} {3}}}}$

X \frac{jeden}{3} = X 3

$x ^ {{{frac {1} {3}}}} = {sqrt [{3}] {x}}$

X \frac{pięć}{3} = X^{pięć} * X^{\frac{jeden}{3}}

$x ^ {{{frac {5} {3}}}} = x ^ {5} * x ^ {{{frac {1} {3}}}}$ = $(X 3)^{pięć}$ $({Sqrt [{3}] {x}}) ^ {5}$

Obraz zatytułowany Rozwiązanie Eksyds Krok 15

3. Fold, odejmowanie i długotrwałe wskaźniki ułamkowe do ogólnych zasad. Łatwiej jest dodawać i odliczyć wskaźniki frakcyjne przed przekształceniem stopni w korzeniach lub w liczbach. Jeśli stopnie są podawane z tych samych zasad i wskaźników, rozwijają się i odliczają zgodnie z ogólnymi zasadami. Jeśli stopnie są podawane tylko z tymi samymi zasadami, możesz pomnożyć i podzielić je (tylko jeśli pamiętasz Zasady dodawania i odejmowania frakcji). Na przykład:

X \frac{pięć}{3} + X^{\frac{pięć}{3}} = 2 (X^{\frac{pięć}{3}})

$X ^ {{{frac {5} {3}}}} + x ^ {{{frac {5} {3}}}} = 2 (x ^ {{{frac {5} {3}} }})$

X \frac{pięć}{3} * X^{\frac{2}{3}} = X^{\frac{7}{3}}

$X ^ {{{frac {5} {3}}}} * x ^ {{{frac {2} {3}}}} = x ^ {{{frac {7}}}$

Rada

Uproszczenie wyrażenia jest doprowadzenie do takiej formy (stosując spełnienie operacji matematycznych), co jest łatwiejsze do rozwiązania.
Na niektórych kalkulatorach znajduje się przycisk, aby obliczyć stopnie (najpierw musisz wprowadzić podstawę, a następnie naciśnij przycisk, a następnie wprowadź wskaźnik). Jest oznaczony jako ^ lub x ^ y.
Pamiętaj, że na przykład dowolny numer w pierwszym stopniu, na przykład, $cztery jeden = cztery.$ $4 ^ {1} = 4$ Co więcej, dowolna liczba pomnożona lub podzielona przez jeden jest równa, na przykład, $pięć * jeden = pięć$ i $pięć / jeden = pięć$ .
Wiem, że stopień 0 nie istnieje (ten stopień nie ma rozwiązania). Próbując rozwiązać taki stopień na kalkulatorze lub na komputerze, otrzymasz błąd. Ale pamiętaj, że dowolna liczba w zero jest równa 1, na przykład, $cztery 0 = jeden.$ $4 ^ {0} = 1$
W najwyższej matematyce, która działa z wyimaginowanymi liczbami: $MI ZA JA X = DO O S ZA X + JA S JA N ZA X$ $E ^ {a} ix = cosax + isinax$ , Gdzie $JA = \sqrt{(} - jeden)$ - E - stała, w przybliżeniu równa 2,7- i - dowolna stała. Dowód tej równości można znaleźć w dowolnym podręczniku na wyższej matematyce.

Ostrzeżenie

Wraz ze wzrostem wskaźnika stopnia jego wartość wzrasta. Więc jeśli odpowiedź wydaje się wam źle, w rzeczywistości może być wierny. Możesz to sprawdzić, budując harmonogram dowolnej funkcji orientacyjnej, na przykład 2.