Jak obliczyć natychmiastową prędkość: 11 kroków

Prędkość - Jest to szybkość przenoszenia obiektu w określonym kierunku.Dla ogólnego celu znalezienia prędkości obiektu (V) - proste zadanie: Musisz podzielić ruch (y) na określony czas (y) na ten czas (t), czyli, użyj formuły V = S / t. Jednak w ten sposób uzyskano średnia prędkość ciała. Korzystając z niektórych obliczeń, możesz znaleźć prędkość ciała w dowolnym miejscu. Taka prędkość jest nazywana Natychmiastowa prędkość i obliczony według formuły V = (DS) / (DT), Oznacza to, że pochodna o wzorze obliczania średniej prędkości ciała.

Kroki

Część 1 z 3:

Obliczanie natychmiastowej prędkości

jeden. Zacznij od równania. Aby obliczyć chwilową prędkość, konieczne jest poznanie równania, które opisuje ruch korpusu (jego położenie w pewnym momencie), czyli takie równanie, z jednej strony, której znajduje się s (ruch ciała) , a po drugiej stronie - członkowie ze zmienną T (czas). Na przykład:

S = -1.5T + 10T + 4

W tym równaniu:
Move = S. Poruszenie - ścieżka przekazana przez obiekt. Na przykład, jeśli ciało przesunął 10 m przed i 7 m wstecz, a następnie całkowity ruch ciała wynosi 10 - 7 = 3m (A 10 + 7 = 17 m).
Czas = T. Zwykle mierzone w sekundach.

Obraz zatytułowany Oblicz chwilową prędkość Krok 2

2. Oblicz pochodną równania. Aby znaleźć chwilową prędkość ciała, której ruchy są opisane powyżej równania powyżej, musisz obliczyć pochodna tego równania. Pochodna jest równaniem, który umożliwia obliczenie nachylenia wykresu w dowolnym punkcie (w dowolnym momencie). Aby znaleźć pochodną, obojętną funkcję w następujący sposób: Jeśli y = a * x, a następnie pochodna = a * n * x. Ta zasada dotyczy każdego członka wielomianu.

Innymi słowy, pochodna każdego członka z zmiennej T jest równa produktowi mnożnika (stojąca przed zmienną), a stopień zmiennej pomnożonej przez zmienną do stopnia równego stopnia początkowego minus 1. Darmowy termin (członek bez zmiennej, to znaczy liczba) znika, ponieważ jest mnożona przez 0. W naszym przykładzie:

S = -1.5T + 10T + 4
(2) -1.5T + (1) 10T + (0) 4T
-3t + 10t
-3t + 10

Obraz zatytułowany Oblicz chwilową prędkość Krok 3

3. Zastąpić "S" na "DS / DT", Aby pokazać, że nowe równanie jest pochodną pierwotnego równania (to znaczy pochodna s z t). Pochodna jest nachylenie wykresu w określonym punkcie (w pewnym momencie). Na przykład, aby znaleźć nachylenie linii opisanej przez funkcję S = -1.5T + 10T + 4 w T = 5, zaledwie 5 do równania pochodnego.

W naszym przykładzie równanie pochodne powinno wyglądać tak:

DS / DT = -3t + 10

Obraz zatytułowany Oblicz chwilową prędkość Krok 4

cztery. W równaniu pochodnym zastępuje odpowiednią wartość t, aby znaleźć chwilową prędkość w pewnym momencie. Na przykład, jeśli chcesz znaleźć chwilową prędkość w T = 5, tylko substytut 5 (zamiast t) do równania DS / DT = -3 + 10. Następnie zdecyduj o równaniu:

DS / DT = -3t + 10
DS / DT = -3 (5) + 10
DS / DT = -15 + 10 = -5 m / s

Zwróć uwagę na natychmiastowy pomiar prędkości: m / s. Ponieważ otrzymujemy wartość ruchu w metrach, a czas - w sekundach, a szybkość jest równa stosunku czasu, to jednostka pomiaru M / C jest poprawna.

Część 2 z 3:

Ekspakracja graficzna Natychmiastowa prędkość

jeden. Zbuduj harmonogram ruchu ciała. W poprzednim rozdziale obliczasz natychmiastową prędkość za pomocą wzoru (pochodna równania, umożliwiając znalezienie nachylenia wykresu w określonym punkcie). Buing wykresu przenoszenia ciała, możesz znaleźć jego przechylenie w dowolnym punkcie, a zatem Określić natychmiastową prędkość w pewnym momencie.

Na osi y, odłożyć ruch, a na osi x - czas. Współrzędne punktów (X, Y) otrzymają poprzez zastąpienie różnych wartości T do początkowego równania, przesuń i obliczają odpowiednie wartości.
Harmonogram może upaść poniżej osi X. Jeśli ruch ciała jest obniżany poniżej osi X, oznacza to, że ciało porusza się w przeciwnym kierunku z punktu początkowego. Z reguły harmonogram nie ma zastosowania do osi Y (wartości ujemne X) - nie mierzymy prędkości obiektów wracających w czasie!

Obraz zatytułowany Oblicz chwilową prędkość Krok 6

2. Wybierz punkt P na wykresie (krzywa) i punkt q. Aby znaleźć nachylenie wykresu w punkcie p, użyj koncepcji limitu. Limit jest warunkiem, w którym wartość programu Secant, prowadzona do 2 punktów P i Q leżącej na krzywej, ma tendencję do zera.

Na przykład rozważ punkty P (1,3) i P (4,7) i oblicz chwilową prędkość w P.

Obraz zatytułowany Oblicz chwilową prędkość Krok 7

3. Znajdź nachylenie segmentu PQ. Nachylenie segmentu PQ jest równe stosunkowi różnicy wartości współrzędnych punktów "Y" p i q do różnicy wartości współrzędnych punktów "X" p i q. Innymi słowy, H = (y y_P - y_P) / (x_P - X_P), Gdzie h jest nachyleniem segmentu PQ. W naszym przykładzie nachylenie segmentu PQ to:

H = (y y_P - y_P) / (x_P - X_P)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = jeden.33

Obraz zatytułowany Oblicz chwilową prędkość Krok 8

cztery. Powtórz proces kilka razy, przynosząc punkt q do punktu p. Im mniejsza odległość między dwoma punktami, tym bliżej wartości nachylenia segmentów na nachylenie wykresu w punkcie p. W naszym przykładzie wykonaliśmy obliczenie punktu q z współrzędnymi (2.4.8) (1.5.3.95) i (1.25.3.49) (Współrzędne punktu P pozostają takie same):

Q = (2.4.osiem): H = (4.8 - 3) / (2 - 1)
H = (1.8) / (1) = jeden.osiem

Q = (1.5.3.95): H = (3.95 - 3) / (1.5 - 1)
H = (.95) / (.5) = jeden.dziewięć

Q = (1.25.3.49): H = (3.49 - 3) / (1.25 - 1)
H = (.49) / (.25) = jeden.96

Obraz zatytułowany Oblicz chwilową prędkość Krok 9

pięć. Im mniejsza odległość między punktami p a q, bliżej wartości H do nachylenia wykresu w punkcie p przy maksymalnej odległości między punktami p i q, wartość H będzie równa nachylenia wykresu Punkt p, ponieważ nie możemy zmierzyć ani obliczyć maksymalnej odległości między dwoma punktami, metoda graficzna daje szacowaną wartość wykresu w punkcie.

W naszym przykładzie, gdy zbliżył się do P, otrzymaliśmy następujące wartości H: 1.8-1 1.9 i 1.96. Ponieważ te liczby mają tendencję do 2, możemy powiedzieć, że nachylenie wykresu w punkcie p jest równe 2.

Pamiętaj, że nachylenie wykresu w tym momencie jest równe funkcji pochodnej (która jest zbudowana przez ten wykres) w tym momencie. Harmonogram wyświetla ruch korpusu w czasie i, jak zauważono w poprzedniej sekcji, natychmiastowa szybkość ciała jest równa pochodnej równania ruchomego ciała. Zatem można go ogłosić, że w T = 2 natychmiastowa prędkość jest równa 2 m / s (Jest to szacowana wartość).

Część 3 z 3:

Przykłady

jeden. Oblicz chwilową prędkość w T = 4, jeśli ruch korpusu jest opisany przez równanie S = 5T - 3T + 2T + 9. Ten przykład jest podobny do zadania pierwszej partycji z jedyną różnicą, że podano tutaj równanie trzeciego rzędu (a nie drugie).

Najpierw oblicz pochodną tego równania:
S = 5T - 3T + 2T + 9
S = (3) 5T - (2) 3T + (1) 2T
15T - 6T + 2T - 6T + 2
Teraz zastąpimy wartość t = 4 do równania:
S = 15t - 6t + 2
15 (4) - 6 (4) + 2
15 (16) - 6 (4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 m / s

Obraz zatytułowany Oblicz chwilową prędkość Krok 11

2. Oszacujemy wartość chwilowej prędkości w punkcie z współrzędnymi (1.3) na wykresie funkcji S = 4T - t. W takim przypadku punkt p ma współrzędne (1.3) i konieczne jest znalezienie kilku współrzędnych punktu q, leżącego blisko punktu p. Następnie obliczymy H i znajdziemy szacowane wartości chwilowej prędkości.

Znajdziemy współrzędne q w t = 2, 1.5, 1.1 i 1.01.

S = 4t - t

T = 2: S = 4 (2) - (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, więc Q = (2,14)

T = 1.pięć: S = 4 (1.5) - (1.pięć)
4 (2).25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, więc Q = (1.5,7.pięć)

T = 1.jeden: S = 4 (1.jedenaście.jeden)
4 (1).21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, więc Q = (1.1,3.74)

T = 1.01: S = 4 (1.01) - (1.01)
4 (1).0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, więc Q = (1.01.3.0704)

Teraz obliczę H:

Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
H = (11) / (1) = jedenaście

Q = (1.5,7.pięć): H = (7.5 - 3) / (1.5 - 1)
H = (4.pięć)/(.5) = dziewięć

Q = (1.1,3.74): H = (3.74 - 3) / (1.jedenaście)
H = (.74) / (.1) = 7.3

Q = (1.01.3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
H = (.0704) / (.01) = 7.04

Ponieważ otrzymane wartości H dąże się do 7, można powiedzieć, że chwilowa prędkość ciała w punkcie (1,3) jest równa 7 m / s (przewidywana wartość).

Rada

Aby znaleźć przyspieszenie (zmienić prędkość w czasie), użyj metody pierwszej części, aby uzyskać pochodną funkcji ruchu. Następnie weź kolejny czas uzyskany z otrzymanej pochodnej. Daje równanie, aby znaleźć przyspieszenie w momencie czasu - wszystko, co musisz zrobić, to zastąpić wartość na czas.
Równanie opisujące zależność (ruchu) z X (czas) może być bardzo proste, na przykład: y = 6x + 3. W takim przypadku nachylenie jest stałe i nie bierze pochodnej, aby go znaleźć. Zgodnie z teorią wykresów liniowych ich nachylenie jest równe współczynnikowi ze zmienną x, czyli w naszym przykładzie = 6.
Ruch jest jak dystans, ale ma pewien kierunek, co sprawia, że ilość wektorowa. Ruch może być ujemny, podczas gdy odległość będzie tylko pozytywna.