Jak rozkładać równanie algebraiczne

Rozbudowa czynników równania jest procesem znalezienia takich członków lub wyrażeń, które, pomnożone, prowadzić do początkowego równania. Dekompozycja mnożników jest użyteczną umiejętnością rozwiązywania podstawowych zadań algebraicznych i staje się praktycznie konieczne podczas pracy z równaniami kwadratowymi i innymi wielomianami. Wyświetlacze dla czynników służy do uproszczenia równań algebraicznych w celu ułatwienia ich rozwiązania. Rozkład mnożników może pomóc w wyeliminowaniu pewnych możliwych odpowiedzi szybciej niż to robisz, ręcznie rozwiązywanie równania.

Kroki

Metoda 1 z 3:

Rozkład mnożników liczb i dużych wyrażeń algebraicznych

jeden. Indywidualna przerwa. Koncepcja rozkładu czynnika jest prosta, ale w praktyce ekspansja mnożników może być trudnym zadaniem (jeśli podano kompleksowe równanie). Dlatego, aby rozpocząć, rozważ koncepcję rozkładu na mnożnikach na przykładzie liczb, kontynuujemy równania proste, a następnie zwracamy się do skomplikowanych równań. Modułami tego numeru są liczbami, które podają początkową liczbę podczas rozmnażania. Na przykład, mnożniki liczby 12 są liczbami: 1, 12, 2, 6, 3, 4, jak 1 * 12 = 12, 2 * 6 = 12, 3 * 4 = 12.

Podobnie można wyświetlić mnożniki liczby jako jej dzielników, to znaczy liczby, do których liczba jest podzielona na.
Znajdź wszystkie mnożniki numeru 60. Często używamy numeru 60 (na przykład 60 minut w ciągu godziny, 60 sekund na minutę i t.RE.) a ta liczba ma dość dużą liczbę mnożników.

Multiplery 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60.

Obraz zatytułowany czynnik ALGEBRAIC Równania Krok 2

2. Zapamiętaj: Członkowie wyrażeń zawierających współczynnik (numer) i zmienną można również rozkładać się na mnożnikach. Aby to zrobić, znajdź współczynnik mnożniki ze zmienną. Wiedząc, jak rozkładać członków równań na czynniki, możesz łatwo uprościć to równanie.

Na przykład, członek 12x może być rejestrowany jako praca 12 i x. Możesz także napisać 12x jako 3 (4x), 2 (6x) i t.RE., Deklarowanie numeru 12 do najbardziej odpowiednich mnożników.

Możesz położyć się na 12x kilka razy z rzędu. Innymi słowy, nie należy zatrzymać na 3 (4x) lub 2 (6x) - kontynuować rozkład: 3 (2 (2x)) lub 2 (3 (2x)) (jest oczywiste, że 3 (4x) = 3 ( 2 (2x)) i t.RE.)

Obraz zatytułowany czynnik ALGEBRAIC Równania Krok 3

3. Zastosuj właściwość dystrybucji mnożenia do rozkładu czynników równań algebraicznych. Wiedząc, jak rozkładać się na czynniki liczby i członek wyrażenia (współczynniki z zmiennymi), można wydłużyć proste równania algebraiczne, znalezienie wspólnego współczynnika liczby i członka wyrażenia. Zwykle uproszczenie równania konieczne jest znalezienie największego wspólnego dzielnika (węzła). Takie uproszczenie jest możliwe dzięki właściwościom dystrybucji mnożenia: dla dowolnych liczb A, B, z równością A (B + C) = AB + AC.

Przykład. Rozłóż równanie 10x + 6 na mnożnikach. Najpierw znajdź węzeł 12x i 6. 6 jest najwyższą liczbą, która dzieli i 12x, a 6, dzięki czemu można rozkładać to równanie dla: 6 (2x + 1).

Proces ten jest również wierny równań, w których są członkowie negatywnych i ułamkowych. Na przykład, X / 2 + 4 można rozkładać się na 1/2 (x + 8) - na przykład -7x + (- 21), można rozkładać na -7 (x + 3).

Metoda 2 z 3:

Rozkład mnożniczów równań kwadratowych

jeden. Upewnij się, że równanie podano w formie kwadratowej (AX + BX + C = 0). Równania kwadratowe mają formularz: AX + BX + C = 0, gdzie współczynniki A, B, C - numeryczne różni się od 0. Jeśli otrzymasz równanie z jednej zmiennej (X), a na tym równaniu jest jeden lub więcej członków z drugiej zmiennej zamówienia, możesz przenieść wszystkich członków równania na jedną stronę równania i zrównać go do zera.

Na przykład podano równanie: 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18. Może być przekształcony w równanie X + 6x + 9 = 0, co jest równaniem kwadratowym.
Równania z zmiennej x duże zamówienia, na przykład, x, x i t.RE. nie są równaniami kwadratowymi. Są to równania sześcienne, czwarte równania zamówień i tak dalej (tylko wtedy, gdy takie równania nie mogą być uproszczone do równań kwadratowych ze zmiennej X do stopnia 2).

Obraz zatytułowany czynnik algebraic równasze Krok 5

2. Równania kwadratowe, gdzie A = 1, spadł (X + D) (X + E), gdzie D * E = C i D + E = B. Jeśli równania kwadratowe jest podawane: X + BX + C = 0 (to znaczy współczynnik w X wynosi 1), to takie równanie może (ale nie gwarantowane) rozkłada się na powyższe czynniki. Aby to zrobić, musisz znaleźć dwie liczby, które przy mnożących daj "C", a podczas dodawania - "B". Jak tylko znajdziesz taką dwie liczby (D i E), zastępować je w następującą ekspresję: (x + d) (x + e), które, gdy ujawniono, prowadzi do równania źródła.

Na przykład równanie kwadratowe x + 5x + 6 = 0. 3 * 2 = 6 i 3 + 2 = 5, dzięki czemu można rozkładać to równanie (x + 3) (x + 2).

W przypadku członków ujemnych wprowadź następujące drobne zmiany w procesie rozkładu mnożniczów:

Jeśli równanie kwadratowe ma wygląd X-BX + C, zostanie odrzucany do: (x -_) (X-_).

Jeśli równanie kwadratowe ma wygląd X-BX-C, jest rozkładany na: (x + _) (X-_).

Uwaga: Przestrzenie można zastąpić frakcjami lub liczbami dziesiętnymi. Na przykład, równanie X + (21/2) X + 5 = 0 jest rozwinięte przez (x + 10) (x + 1/2).

Obraz zatytułowany czynnik ALGEBRAIC Równania Krok 6

3. Rozkład na próbach przez próbę i błąd. Nieskomplikowane równania kwadratowe mogą być rozkładane na mnożnikach, po prostu zastępując liczby w możliwych rozwiązaniach, aż znajdziesz odpowiednie rozwiązanie. Jeśli równanie ma gatunek + BX + C, gdzie> 1, możliwe roztwory są zapisywane w postaci (DX +/- _) (np. +/- _), gdzie współczynniki D i E - numeryczne są różne od zera, które są przekazywane przez pomnożenie. Albo D, albo E (lub oba współczynniki) mogą być równe 1. Jeśli oba współczynniki są równe 1, użyj metody opisanej powyżej.

Na przykład równanie 3x - 8x + 4. Tutaj 3 ma tylko dwa czynniki (3 i 1), więc możliwe rozwiązania są zapisywane w postaci (3x +/- _) (x +/- _). W tym przypadku zastępowanie zamiast spacji -2, znajdziesz prawidłową odpowiedź: -2 * 3x = -6x i -2 * x = -2x- - 6x + (- 2x) = - 8x i -2 * -2 = 4 Następnie istnieje taka rozkład, gdy ujawnianie wsporników doprowadzi do członków równania źródła.

Obraz zatytułowany czynnik ALGEBRAIC RÓWNOWACJA Krok 7

cztery. Pełny kwadrat. W niektórych przypadkach równania kwadratowe można szybko i łatwo rozłożyć na mnożnikach ze specjalną tożsamością algebraiczną. Każde równanie kwadratowe gatunku X + 2xH + H = (X + H). Oznacza to, że jeśli w równaniu, współczynnik B jest równy podwójnego korzenia kwadratowego z współczynnika C, a następnie równanie można rozłożyć (x + (kv.Root (c))).

Na przykład podano równanie X + 6x + 9. Tutaj 3 = 9 i 3 * 2 = 6. Dlatego to równanie wynosi (x + 3) (x + 3) lub (x + 3).

Obraz zatytułowany czynnik algebraic równasze Krok 8

pięć. Użyj rozbudowy mnożników, aby rozwiązać równania kwadratowe. Ustępując równanie dla mnożników, możesz równać każdy mnożnik do zera i obliczyć wartość x (pod roztworem równania jest dorozumiany przez znalezienie wartości x, w których równanie jest zbyt zero).

Wróćmy do X + 5x + 6 = 0 równania. Równanie to spadło do mnożników (x + 3) (x + 2) = 0. Jeśli jeden z mnożników jest 0, to wszystkie równanie wynosi 0. Dlatego piszemy: (x + 3) = 0 i (x + 2) = 0 i znajdziemy x = -3 i x = -2 (odpowiednio).

Obraz zatytułowany czynnik ALGEBRAIC Równania Krok 9

6. Sprawdź odpowiedź (niektóre odpowiedzi mogą być nieprawidłowe). Aby to zrobić, zastąpić znalezione wartości w oryginalnym równaniu. Czasami przy zamiemieniu znalezionych wartości, początkowe równanie nie jest zerowe - oznacza to, że takie wartości są nieprawidłowe.

Na przykład, substytut x = -2 i x = -3 w x + 5x + 6 = 0. Najpierw zastępujemy X = -2:

(-2) + 5 (-2) + 6 = 0

4 + -10 + 6 = 0

0 = 0. To znaczy, x = -2 - poprawna odpowiedź.

Teraz substytut x = -3:

(-3) + 5 (-3) + 6 = 0

9 + -15 + 6 = 0

0 = 0. To znaczy x = -3 - poprawna odpowiedź.

Metoda 3 z 3:

Rozkład mnożników innych równań

jeden. Jeśli podano równanie formy A-B, zmniejszy się (A + B) (A-B), gdzie A i B nie są równe 0.

Na przykład: 9x - 4Y = (3x + 2Y) (3x - 2Y)

Obraz zatytułowany czynnik ALGEBRAIC Równania Krok 11

2. Jeśli podano równanie formy A + 2AB + B, zmniejsza się (A + B). Jeśli podano równanie formy A-2AB + B, zostanie odrzucone: (A-B).

4x + 8xy + 4Y równania można rozłożyć na: 4x + 2 * 2x * 2Y + 4Y = (2x + 2Y).

Obraz zatytułowany czynnik ALGEBRAIC Równania Krok 12

3. Jeśli podano równanie formy A-B, zmniejszy się (A-B) (A + AB + B). Konieczne jest wspomnieć, że równania sześcienne i równania wyższego rzędu mogą być rozłożone na mnożnikach, chociaż proces rozkładu jest złożony.

Na przykład: 8x - 27y złożone na: (2x - 3Y) (4x + ((2x) (3Y)) + 9Y)

Rada

A-B można rozłożyć na mnożnikach, a + B nie można rozszerzyć na mnożnikach.
Naucz się układać czynniki (liczby) - może to pomóc w rozkładu równań.
Kiedy rozkład się, usterki ostrożnie pracują z frakcjami.
Jeśli otrzymasz trzy elementy gatunku X + BX + (b / 2), można go rozłożyć: (x + (b / 2)).
Pamiętaj: A * 0 = 0.

Czego potrzebujesz

Papier
Ołówek
Podręcznik algebra (jeśli to konieczne)