Jak ustalić, czy nieskończony wiersz zbiega się: 4 kroki

Niekończące się rzędy numeryczne często prowadzą do zamieszania i przestraszenia, ponieważ są dość trudne do wyobrażenia wyobrażenia umysłowo. Na pierwszy rzut oka trudno jest powiedzieć, że liczba zbiega, czy nie, kilka wieków temu, odpowiedź na takie pytanie zajmie wiele godzin. Jednak w naszych czasach dzięki wysiłkom wielu wybitnych matematyków mamy zestaw prostych technik, łatwo pozwalając na rozwiązanie zadania. Techniki te mają na celu uzyskanie odpowiedzi na pytanie, liczba zbiega się lub nie, a nie znaleźć jego suma. Aby je zrozumieć, powinieneś mieć również podstawy obliczeń.

Kroki

jeden. Wdrożyć wstępną kontrolę. Istnieje prosty twierdzenie, które stwierdza, że jeśli nieskończona suma funkcji F zbiega się, limit funkcji F wynosi 0. Tak więc, jeśli mamy funkcję x ^ 2, to nie ma limitu, a jego suma nie zgadza się z nieskończonością, z drugiej strony, limit funkcji 1 / X wynosi 0, dzięki czemu jego ilość może się zbiecać. Jeśli limit nie jest równy zero, wiemy, że rzędami rozbieżności. Uwaga: Przeciwieństwo nie jest prawdziwe, czyli fakt, że limit jest zerowy, nie oznacza, że liczba koniecznie zbieżuje. W tym przypadku konieczne jest dalsza weryfikacja.

Obraz zatytułowany Określ, czy seria nieskończona zbiega się o krok 2

2. Geometryczne rzędy. Dla tych wierszy istnieje bardzo prosta reguła, więc przede wszystkim przede wszystkim ustalić, czy twój wiersz jest geometryczny. Seria geometryczna jest sekwencją liczb, której każdy człon może być reprezentowany jako R ^ K, gdzie K jest zmienną, a R jest liczbą w zakresie od -1 do 1. Geometryczne rzędy zawsze się zgadzają. Ponadto można łatwo określić ilość takiego wiersza, który jest równy 1 / (1-R).

Obraz zatytułowany Napisz Boże Narodzenie Krok 4

3. Uogólnione szeregi harmoniczne lub Dirichlet. Taka liczba nazywana jest sumą funkcji formularza 1 / (x ^ p), gdzie x jest dowolnym numerem. Twierdzenie tych serii stwierdza, że jeśli p jest większa niż jednostka, seria zbiega się, jeśli p jest mniejsza lub równa jednej, rozbieżności rzędu. Oznacza to, że wyżej wymieniona seria 1 / x została rozproszona, ponieważ może być reprezentowany jako 1 / (x ^ 1), gdzie p = 1. Ta seria nazywa się harmoniczny. Liczba 1 / (x ^ 2) zbiega, jak 2 więcej 1.

cztery. Inne wiersze. Jeśli numer nie należy do jednego z wskazanych powyżej typów, zastosuj poniższe metody poniżej. Jeśli jedna metoda nie pomogła, zastosować następujące elementy, ponieważ nie zawsze jest jasne, które należy wybrać. Chociaż nie ma jednoznacznych reguł, w czasie można lepiej poruszać się w wybraniu żądanej metody.

Metoda porównawcza. Przypuśćmy, że masz dwa wiersze składające się z pozytywnych członków, a (n) i b (n). Następnie: 1) Jeśli zbiega się nieskończona suma b (n), a (n) jest mniejsza niż b (n) (dla dowolnego wystarczająco dużego n), wówczas suma A (N) jest również zrównoważona, 2), jeśli B ( n) rozwiać i a (n)> b (n), a następnie (n) również rozbiega. Na przykład masz serię 2 / x - możemy porównać go z blisko 1 / x. Ponieważ już wiemy, że seria 1 / x jest rozeszła i 2 / x> 1 / x, wynika, że liczba 2 / x rozprasza się również. Zatem ideą metody jest ustalenie, czy seria jest konwergentna, czy nie, przy użyciu już znanej serii. Obraz zatytułowany Określ, czy seria nieskończona zbiega krok 4Bullet1

Obraz zatytułowany Określ, czy seria nieskończona zbiega krok 4Bullet1

Metoda ograniczeń porównawczych. Jeśli a (n) i b (n) są rzędami liczb dodatnich, a jeśli istnieje limit A (n) / b (n), który jest większy niż 0, a następnie oba rzędy albo zbiegają się lub rozbieżniają. W tym przypadku seria w ramach badania jest również porównywana ze znaną metodą, metodą jest wybór znanej serii, którego maksymalny stopień odpowiada stopniu badania serii. Na przykład, jeśli rozważasz serię 1 / (x ^ 3 + 2x + 1), ma sens, aby porównać go z blisko 1 / (x ^ 3). Obraz zatytułowany Określ, czy seria nieskończona zbiega krok 4bullet2

Obraz zatytułowany Określ, czy seria nieskończona zbiega krok 4bullet2

Sprawdź integralną. Jeśli funkcja jest większa niż zero, ciągły i zmniejsza się przy wartościach X więcej niż lub równych 1, następnie zbiega się nieskończoną serią F (n) zbiega się, jeśli istnieje pewna integralna z 1 do nieskończoności z funkcji F (X) i ma Ostateczne znaczenie - w przeciwnym razie wiersz jest rozesty. W ten sposób wystarczy, aby zintegrować funkcję i znaleźć limit dla x, szukając nieskończoności: Jeśli limit jest skończony, seria zbiega się, jeśli limit jest równy nieskończoności, odbiega rzędu. Obraz zatytułowany Określ, czy seria nieskończona zbiega krok 4bullet3

Obraz zatytułowany Określ, czy seria nieskończona zbiega krok 4bullet3

Podpisywane wiersze. Jeśli A (K)> A (K + 1)> 0 w wystarczająco dużym K, a limit A (N) wynosi 0, a następnie alternatywna seria (-1) ^ a (n) zbiega się. Po prostu powiedzmy, że twój wiersz jest znaczącą (czyli, jego członkowie są naprzemiennie pozytywne i negatywne) - w tym przypadku wyrzucić alternatywną część funkcji i znajdź limit, co pozostaje - jeśli limit jest skończony, seria zbiega się.

Metoda relacji. Jeśli podano nieskończoną serię A (N), znajdź następujący człon rzędu A (N + 1). Następnie oblicz stosunek kolejnego elementu do poprzedniego (N + 1) / A (N), w razie potrzeby, podejmując jego wartość bezwzględną. Znajdź limit tej relacji, gdy N dążenie do nieskończoności, jeśli ten limit istnieje i jest ostateczny, oznacza to następujące: 1) Jeśli limit jest mniejszy niż jeden, seria zbiega - 2), jeśli limit jest większa niż urządzenie, Wiersz jest oddzielony przez jeden) Jeśli limit jest równy jednej, ta metoda niewystarczająca (liczba może być konwergentna i rozprasza).

Są to główne metody określania konwergencji wierszy i są niezwykle przydatne. Jeśli żaden z nich nie pomógł, prawdopodobne jest, że zadanie nie ma rozwiązania, lub gdzieś popełniłeś błąd. Metody te można również stosować do innych wierszy, takich jak rzędy mocy, rzędy Taylor i T.RE. Posiadanie tych metod jest trudne do przeceny, ponieważ inne proste sposoby określania konwergencji liczby nie istnieje.

Rada

Zawsze znajdź limit i sprawdź, czy seria nie ma zastosowania do geometrycznych lub uogólnionych wierszy harmonicznych przed użyciem metody porównania. Pozwoli to zaoszczędzić dużo czasu i wysiłku.

Ostrzeżenie

Nie próbuj rozwiązać żadnego zadania za pomocą kalkulatora.