Jak wziąć pochodną w analizie matematycznej

Funkcja pochodna może być wykorzystana do uzyskania przydatnych informacji o grafikach, na przykład, aby dowiedzieć się o położeniu maksima, upadek, szczytów, depresji i natury przechyłu. Możesz nawet użyć ich do budowania kompleksowych równania w sprawie harmonogramu bez zastosowania kalkulatora graficznego! Niestety znalezienie pochodnej może być żmudnym zadaniem, ale ten artykuł pomoże Ci nauczyć się niektórych technik i zręczności.

Kroki

jeden. Sprawdź pochodną oznaczenia formularza. Najczęściej występują następujące dwie formy oznaczenia, ale na Wikipedii można znaleźć ogromną liczbę innych Tutaj.

Oznaczenie Leibnitsa. Oznaczenie to jest najczęstsze w przypadkach, w których funkcja obejmuje y i x. DY / DX dosłownie oznacza "pochodna y w stosunku do x." Wygodne jest przedstawienie pochodnej w formie nieskończenie małych różnic ΔY / Δx. To wyjaśnienie jest konsekwencją określania pochodnej przez limit: LIM_{H-> 0} (f (x + h) -f (x)) / h. Korzystając z tego oznaczenia dla drugiej pochodnej, musisz napisać: dy / dx.
Oznaczenie Lagrange. Funkcja pochodna może być również zapisywana jako F `(X). To oznaczenie jest czytane jako "F kodów kreskowych z x". Oznaczenie to jest krótsze niż oznaczenie Leibry, jest przydatne przy rozważaniu pochodnej jako funkcji. Tworzyć pochodne wyższych zamówień, po prostu dodaj do"FA" Nowy " " ". Więc druga pochodna zostanie oglądana F `` (X).

Obraz zatytułowany weź pochodne w rachunku rachunkowości 2

2. Dowiedz się, co jest pochodna i dlaczego jest to potrzebne. Po pierwsze, aby znaleźć nachylenie bezpośredniej zależności, dwa punkty są pobierane na linii, a ich współrzędne są podstawione w równanie (Y₂ - y_jeden) / (x₂ - X_jeden). Jednak może być używany tylko do zależności liniowych. W przypadku zależności kwadratowych i powyżej linii będzie krzywą, więc definicja "różnica" Dwa punkty nie mogą być dokładne. Aby znaleźć holowanie pochylenia do grafiki krzywoliniowej, podejmowane są dwa punkty, które są podstawione w standardowym równaniu, aby określić stycznia języka do krzywej: [F (x + DX) - F (X)] / DX. DX oznacza "Delta X," Różnica między dwoma współrzędnymi X harmonogramu. Należy pamiętać, że ten wyraz jest podobny (y₂ - y_jeden) / (x₂ - X_jeden), tylko w innej formie. Ponieważ wiadomo, że wynik nie będzie dokładny, stosuje się podejście pośrednie. Aby znaleźć holowanie pochylenia w punkcie (X, F (x)), DX powinien dążyć do 0, dzięki czemu dwa wybrane punkty żyją w jednym. Nie możemy jednak podzielić 0, zatem zastępując oba wartości współrzędnych punktów, będziesz musiał rozszerzyć wyrażenie na mnożnikach i używać innych metod, aby zmniejszyć DX na dole wyrażenia. Zrobiłem to, zaakceptuj DX = 0 i rozwiąż równanie. Będzie to kąt nachylenia w punkcie (x, f (x)). Pochodna wyrażenia jest ogólnym wyrażeniem do znalezienia skłonności do swego stycznego do harmonogramu. Może wydawać się niezwykle trudne, ale kilka przykładów pokazanych poniżej pomoże Ci zrozumieć proces znalezienia pochodnej.

Metoda 1 z 4:

Zróżnicowanie wyraźnych funkcji

jeden. Użyj różnicowania jednolitych funkcji, gdy wyrażenie ma już y, znajduje się w jednej części.

Obraz zatytułowany wziąć pochodne w KROKUSZENIE KROKU 4

2. Zastąp wyrażenie [F (X + DX) - F (X)] / DX. Na przykład, jeśli równanie ma formularz Y = X, pochodna zostanie oglądana [(x + DX) - X] / DX.

Obraz zatytułowany weź pochodne w KROKU KRUCIELU

3. Otwarte wsporniki, a następnie renderowane DX na wsporniki, uzyskiwanie równania [DX (2x + DX)] / DX. Teraz możesz skrócić dwa DXS w górnej i dolnej części frakcji. W rezultacie otrzymasz 2x + DX, a gdy DX ma tendencję do 0, to pochodna jest 2x. Oznacza to, że nachylenie dowolnego stycznego na wykresie Y = X to 2x. Wystarczy zastąpić wartość punktu X, w którym chcesz znaleźć nachylenie.

Obraz zatytułowany weź pochodne w rachunku rachunkowym Krok 6

cztery. Przeglądaj schematy znalezienia funkcji pochodnych tego typu. Poniżej są niektóre z nich.

Pochodna funkcji mocy jest równa produktowi stopnia i przyczyny stopnia na jednostkę. Na przykład pochodna Xhanne 5x, a pochodna X jest równa 3.5x. Jeśli zanim X już masz numer, po prostu pomnóż go w stopniu. Na przykład 3x pochodna wynosi 12x.

Pochodna dowolnej liczby jest równa 0. Innymi słowy, pochodna 8 jest równa 0.

Kwota pochodna to suma poszczególnych instrumentów pochodnych. Na przykład pochodna X + 3x jest 3x + 6x.

Pochodna pracy jest produktem pierwszego czynnika na pochodną drugiego plus produkt drugiego czynnika przy pochodnej pierwszej. Na przykład pochodna X (2x + 1) wynosi X (2) + (2x + 1) 3x, która jest 8x + 3x.

Pochodna frakcji (powiedzmy, f / g) jest [g (pochodna f) - f (pochodna g)] / g. Na przykład, pochodna (X + 2x - 21) / (X - 3) jest równa (X - 6x + 15) / (x - 3).

Metoda 2 z 4:

Zróżnicowanie niejawnych funkcji

jeden. Użyj zróżnicowania domyślnie wyrażonych funkcji, gdy z jednej strony nie można przydzielić w wyrażeniu. Nawet jeśli byłeś w stanie nagrać go z Y w jednej części, obliczenie dy / DX będzie masywne. Poniżej znajdują się przykłady znalezienia pochodnej do wyrażeń tego typu.

Obraz zatytułowany weź pochodne w rachunku bliczkowym Krok 8

2. W tym przykładzie: XY + 2Y = 3x + 2Y, zastąp y na f (x), aby pamiętać, że Y jest w rzeczywistości funkcją. Wyrażenie przyjmie formę XF (X) + 2 [F (x)] = 3x + 2f (x).

Obraz zatytułowany weź pochodne w rachunku rachunkowym Krok 9

3. Aby znaleźć pochodną tego wyrażenia, niezawodnego (inteligentne słowo oznacza znalezienie pochodnej) obu boków równania X. Wyrażenie stanie się XF `(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)] F` (x) = 3 + 2f `(x).

Obraz zatytułowany wziąć pochodne w rachunku na rachunek Krok 10

cztery. Zastąp ponownie f (x) na y. Bądź ostrożny i nie rób tego samego dla F `(x), różniących się od f (x).

Obraz zatytułowany Weź pochodne w KROKUSZENIE KROKU 11

pięć. Znajdź f `(x). Odpowiedź na ten przykład ma formę (3 - 2xy) / (x + 6Y - 2).

Metoda 3 z 4:

Pochodne wyższego rzędu

jeden. Weź najwyższą funkcję pochodną rzędu, aby wziąć pochodną pochodną (w przypadku zamówienia równa 2). Na przykład, jeśli zostaniesz poproszony o podjęcie pochodnej trzeciej rzędu, po prostu przyjmuj pochodną pochodną pochodną. W przypadku niektórych wyrażeń pochodnych wysokiego rzędu wymagają wartości zerowej.

Metoda 4 z 4:

Łańcuch reguł

jeden. Jeśli Y jest różnorodną funkcją Z, a Z - różnorodnym funkcją, Y jest funkcją złożoną X, a pochodną Y do X (dy / DX) (DY / DE) * (DU / DX). Zasada łańcucha odnosi się również do złożonych wyrażeń mocy, na przykład: (2x - X). Aby znaleźć pochodną, po prostu zastosuj regułę produktu. Pomnóż wyrażenie w stopniu i zmniejszyć stopień na jednostkę. Następnie pomnóż wyrażenie na bazowej pochodnej (w naszym przypadku jest 2x ^ 4 - X). Odpowiedź na ten przykład wygląda tak: 3 (2x - X) (8x - 1).

Rada

Kiedy widzisz, że musisz rozwiązać tylko ogromny przykład - nie martw się. Przełam go na jak najwięcej najmniejszych kawałków, stosując zasady pracy, frakcji i t.RE. Po tym przejdź do odróżnienia poszczególnych części.
Ćwicz w celu wykorzystania zasad pracy, frakcji, łańcuchów, aw szczególności - zróżnicowanie funkcji w niejawnym formie, ponieważ są one bardzo złożoną częścią matanalizy.
Użyjesz kalkulatora - spróbuj użyć różnych funkcji kalkulatora, aby dowiedzieć się jej możliwości. Szczególnie przydatne do znania funkcji stycznej i pochodnej, jeśli są w kalkuluję.
Zapamiętaj pochodne głównych funkcji trygonometrycznych i jak się z nimi skontaktować.

Ostrzeżenie

Nie zapominaj, że przy użyciu zasad Ruli przed f (pochodną g) jest wykonany przez znak minus - jest to powszechny błąd i zapomina o tym, otrzymasz nieprawidłową odpowiedź.