Jak znaleźć odwrotną matrycę 3x3 -

Z reguły, operacje odwrotne służą do uproszczenia złożonych wyrażeń algebraicznych. Na przykład, jeśli zadanie jest obecne w podziale frakcji, możliwe jest zastąpienie go operacją mnożenia dla frakcji odwrotnej, która jest operacją odwrotną. Ponadto macierze nie mogą się podzielić, więc musisz pomnożyć na matrycy zwrotnej. Oblicz matrycę, odwrotną matrycę rozmiaru 3x3, raczej męczącego, ale musisz być w stanie to zrobić ręcznie. Również wartość odwrotna można znaleźć za pomocą dobrego kalkulatora graficznego.

Kroki

Metoda 1 z 3:

Za pomocą załączonej macierzy

jeden. Sprawdź wyznacznik matrycy. Najpierw oblicz determinant matrycy. Jeśli wyznacznik wynosi 0, nie można obliczyć matrycy odwrotnej. Determinant matrycy M jest oznaczony jako DET (M).

W przypadku matrycy 3x3 należy najpierw obliczyć determinant.
Aby uzyskać szczegółowe informacje, przeczytaj artykuł Jak znaleźć wyznacznik Matrix 3x3.

Obraz zatytułowany Znajdź odwrotność macierzy 3x3 Krok 2

2. Przeglądarka oryginalna matryca. Transpozycja jest zastąpieniem wierszy na kolumnach w stosunku do głównej przekątnej matrycy, która jest konieczna, aby zmienić elementy (I, J) i (J, I) miejsca. Jednocześnie elementy głównej przekątnej (zaczynają się w lewym górnym rogu i kończy się w prawym dolnym rogu) nie zmieniają.

Aby zmienić wiersze na kolumnach, napisz elementy pierwszej linii w pierwszej kolumnie, elementy drugiej linii w drugiej kolumnie oraz elementy trzeciej linii w trzeciej kolumnie. Procedura zmiany pozycji elementów jest wyświetlana na rysunku, na której odpowiednie elementy są kręcone kolorowymi okręgami.

Obraz zatytułowany Znajdź odwrotność 3x3 matrycy Krok 3

3. Znajdź zdefiniować każdą matrycę 2x2. Każdy element dowolnej matrycy, w tym transponowanej, wiąże się z odpowiednią matrycą 2x2. Aby znaleźć matrycę 2x2, która odpowiada konkretnym elementowi, przekrzyżować ciąg i kolumnę, w której znajduje się ten element, to znaczy, trzeba przekroczyć pięć elementów oryginalnej matrycy 3x3. Niewiścili cztery elementy, które są elementami odpowiedniej matrycy 2x2.

Na przykład, aby znaleźć matrycę 2x2 dla elementu, który znajduje się na skrzyżowaniu drugiej linii i pierwszej kolumny, przekreśl pięć elementów w drugiej linii i pierwszej kolumnie. Pozostałe cztery elementy są elementami odpowiedniej matrycy 2x2.

Znajdź wyznacznik każdego matrycy 2x2. Aby to zrobić, produkt elementów wtórnej przekątnej odliczy od pracy elementów przekątnej głównej (patrz rysunek).

Szczegółowe informacje o matrycach 2x2 odpowiadające niektórym elementach macierzy 3x3 można znaleźć w Internecie.

Obraz zatytułowany Znajdź odwrotność 3x3 Matrix Krok 4

cztery. Utwórz matrycę cofaaktora. Wyniki uzyskane wcześniej, zapisz jako nowa matryca cofaaktora. W tym celu identyfikator każdej matrycy 2x2 piszę, gdzie znajduje się odpowiedni element Matrix 3x3. Na przykład, jeśli matryca 2x2 jest rozpatrywana dla elementu (1.1), jego wyznacznik jest rejestrowany w pozycji (1,1). Następnie zmień znaki odpowiednich elementów według określonego schematu, który jest wyświetlany na rysunku.

Schemat zmiany znaków: Znak pierwszego elementu pierwszej linii nie zmienia się - znak drugiego elementu pierwszej linii zmienia się na odwrót - znak trzeciego elementu pierwszej linii nie zmienia się i tak online. Należy pamiętać, że znaki "+" i ";", które są wyświetlane na diagramie (patrz rysunek), nie wskazują, że odpowiedni element będzie pozytywny lub negatywny. W takim przypadku znak "+" sugeruje, że znak elementu nie zmienia się, a znak ";" wskazuje zmianę znaku elementu.

Szczegółowe informacje o macierzach cofaaktora można znaleźć w Internecie.

Znajdziesz więc dołączony macierz oryginalnej macierzy. Czasami nazywa się to macierz ze złożoną koniugatem. Taka matryca jest wskazana jako adj (m).

Obraz zatytułowany Znajdź odwrotność 3x3 Matrix Krok 5

pięć. Podziel każdy element załączonej matrycy do wyznacznika. Determinant Matrycy M obliczono na samym początku, aby sprawdzić, czy istnieje matryca odwrócona. Teraz podziel każdy element załączonej matrycy do tego wyznacznika. Wynikiem każdej operacji podziału spowoduje zapisanie się, w którym znajduje się odpowiednia pozycja. Więc znajdziesz macierz, odwrotne źródło.

Determinant matrycy, który jest pokazany na rysunku, wynosi 1. Zatem tutaj załączona macierz jest matrycą odwrotną (ponieważ podczas dzielenia dowolnego numeru na 1 nie zmieni).

W niektórych źródłach operacja podziału zastępuje się operacją mnożenia przez 1 / det (m). W takim przypadku wynik końcowy nie zmienia się.

Metoda 2 z 3:

Za pomocą podstawowych transformacji

jeden. Pojedyncza matryca pisza obok oryginalnej macierzy. Nagraj początkową matrycę m, po prawej stronie, narysuj pionową linię, a następnie po prawej stronie zapisanej linii macierz. Okazuje się matrycę z trzema rzędami i sześcioma kolumnami (duża matryca).

Przypomnijmy, że pojedyncza matryca jest matrycą, gdzie elementy głównej przekątnej są jednostkami, a reszta elementów to zer. Szczegółowe informacje na temat pojedynczych matryc można znaleźć w Internecie.

Obraz zatytułowany Znajdź odwrotność 3x3 Matrix Krok 7

2. Wykonaj podstawowe transformacje, aby uzyskać jedną matrycę, aby uzyskać pojedynczy. Naszym celem jest stworzenie jednej macierzy na lewej połowie dużej matrycy. Podstawowe transformacje wykonane na lewej połowie dużej matrycy muszą być również wykonywane na prawej połowie (przypominamy sobie, że w prawej połowie dużej matrycy jest pojedynczą matrycą).

Pamiętaj, że transformacje podstawowe obejmują operacje mnożenia skalarne, a także dodawanie i odejmowanie ciągów do oddzielania niektórych elementów. Szczegółowe informacje na temat konwersji matryc podstawowych można znaleźć w Internecie.

Obraz zatytułowany Znajdź odwrotność macierzy 3x3 Krok 8

3. Kontynuuj konwertowanie dużej matrycy, aż do połowy (czyli macierz źródłowy) nie obróci się do jednej macierzy. Przypomnijmy, że pojedyncza matryca jest matrycą, gdzie elementy głównej przekątnej są jednostkami, a reszta elementów to zer. Gdy początkową matrycą staje się singlem, po prawej połowie dużej matrycy otrzymasz matrycę, Źródło odwrotne.

Obraz zatytułowany Znajdź odwrotność 3x3 Matrix Krok 9

cztery. Zapisz odwrotną matrycę. Zapisz elementy znajdujące się na prawej połowie dużej matrycy, jako oddzielną matrycę, która jest matrycą powrotną.

Metoda 3 z 3:

Za pomocą kalkulatora

jeden. Wybierz kalkulator, który działa z matrycami. Z pomocą prostych kalkulatorów niemożliwe jest znalezienie odwrotnej matrycy, ale można to zrobić na dobrym kalkulatorze graficznym, takim jak Texas Instruments TI-83 lub TI-86.

Obraz zatytułowany Znajdź odwrotność 3x3 Matrix Krok 11

2. Wprowadź matrycę źródłową w pamięci kalkulatora. Aby to zrobić, naciśnij przycisk MATRIX (MATRIX), jeśli jest. W przypadku kalkulatora instrumentów Teksasu może być konieczne naciśnięcie przycisków 2 i matrycy.

Obraz zatytułowany Znajdź odwrotność 3x3 matrycy Krok 12

3. Wybierz Menu Edytuj (Edytuj). Uczyń go za pomocą przycisków strzałek lub odpowiedniego przycisku funkcyjnego, który znajduje się w górnej części klawiatury kalkulatora (lokalizacja przycisku zależy od modelu kalkulatora).

Obraz zatytułowany Znajdź odwrotność 3x3 Matrix Krok 13

cztery. Wpisz oznaczenie matrycy. Najbardziej graficzne kalkulatory mogą pracować z 3-10 matrycami, które mogą być oznaczone literami A-J. Z reguły po prostu wybierz [A], aby wyznaczyć oryginalną matrycę. Następnie naciśnij przycisk ENTER.

Obraz zatytułowany Znajdź odwrotność 3x3 Matrix Krok 14

pięć. Wprowadź rozmiar matrycy. Ten artykuł odnosi się do matryc 3x3. Ale graficzne kalkulatory wiedzą, jak pracować z dużymi matrycami. Wprowadź liczbę wierszy, naciśnij przycisk ENTER, a następnie wprowadź liczbę kolumn i ponownie naciśnij przycisk ENTER.

Obraz zatytułowany Znajdź odwrotność 3x3 Matrix Krok 15

6. Wpisz każdy element matrycy. Matryca pojawia się na ekranie kalkulatora. Jeśli matryca została już wprowadzona wcześniej w kalkulatorze, pojawi się na ekranie. Kursor przeznaczy pierwszy element matrycy. Wprowadź wartość pierwszego elementu i naciśnij ENTER. Kursor automatycznie przeniesie się do następnego elementu matrycy.

Aby wprowadzić wartość ujemną elementu, naciśnij przycisk specjalny za pomocą znaku "minus", a nie przyciskiem operacji odejmowania - w przeciwnym razie kalkulator nie będzie w stanie poprawnie przetworzyć tego numeru.

Aby przejść do określonego elementu matrycy, użyj przycisków strzałek.

Obraz zatytułowany Znajdź odwrotność 3x3 Matrix Krok 16

7. Wyjdź z trybu administracji matrycy. Wprowadzanie wartości wszystkich elementów matrycy, kliknij przycisk Zamknij. (Lub, jeśli to konieczne, naciśnij przyciski 2 i quit.) Więc pozostawisz tryb podawania matrycy i przejdź do głównego ekranu kalkulatora.

Obraz zatytułowany Znajdź odwrotność 3x3 Matrix Krok 17

osiem. Użyj specjalnego przycisku, aby znaleźć matrycę odwrotnej. Najpierw wprowadź tryb wejścia matrycy (naciśnij przycisk MATRIX) i naciśnij przycisk Nazwy, aby wybrać oznaczenie matrycy, które wskazałeś wcześniej (najprawdopodobniej [A]). Następnie naciśnij przycisk Operacja odwrotna, który jest oznaczony jako

X - jeden

$x ^ {{- 1}}$ (może najpierw musisz nacisnąć 2 przycisk). Na ekranie pojawi się

ZA - jeden

$^ {{- 1}}$ . Naciśnij ENTER, aby wyświetlić odwrotną matrycę.

Nie używaj przycisku → (przycisk do celowania stopnia), aby wprowadzić A ^ -1, naciskając wiele kluczy. Kalkulator nie zrozumie tej operacji.

Jeśli po kliknięciu przycisku na odwrotnej pracy pojawił się komunikat o błędzie pojawił się na ekranie, najprawdopodobniej matryca odwrotna nie istnieje. Aby upewnić się, że oblicz identyfikację matryc.

Obraz zatytułowany Znajdź odwrotność 3x3 Matrix Krok 18

dziewięć. Konwertuj wartości elementów matrycy zwrotu do zwykłych frakcji. Domyślnie kalkulator wyświetla wartości elementów matrycy powrotnej w postaci ułamków dziesiętnych - w większości przypadków taka matryca nie może być zapisywana w odpowiedzi. Dlatego, dziesiętne wartości elementów matrycy powrotnej muszą być przekształcone w zwykłe frakcje (w najrzadszych przypadkach wszystkie elementy matrycy zwrotnej będą liczbami całkowitymi).

W wielu graficznych kalkulatorach znajduje się przycisk, który pozwala przekształcić frakcje dziesiętne do zwykłego. Na przykład na kalkulatorze TI-86 kliknij Math, wybierz Misc (inne), a następnie wybierz FRAC i naciśnij Enter. Frakcje dziesiętne zostaną automatycznie konwertowane na zwykłe.

Rada

Opisane metody mogą być stosowane do macierzy, których elementy są nie tylko liczbami, ale także zmiennymi, nieznanymi, a nawet wyrażeniami algebraicznymi.
Rekord obliczeń na papierze, ponieważ niezwykle trudno jest znaleźć matrycę odwrotnej.
Istnieją programy komputerowe, które mogą pracować z dowolnymi matrycami, w tym matrycą 30x30.
Sprawdź odpowiedź uzyskaną przy użyciu dowolnej z metod opisanych w niniejszym artykule. Dla tego zwielokrotniać Matryca źródła (m) i odwrotna (m). Pamiętaj, że m * m = m * m = 1. Pojedyncza macierz jest matrycą, gdzie elementy głównej przekątnej są jednostkami, a reszta elementów to zer. Jeśli wynik mnożenia nie jest równy 1, sprawdź swoje obliczenia.

Ostrzeżenie

Nie wszystkie matryce 3x3 odwracalne. Jeśli wyznacznik matrycy wynosi 0, matryca odwrotna nie istnieje. (Należy pamiętać, że istnieje podział na determinant w obliczeniach i nie można go podzielić na 0.)