Jak znaleźć dziedzinę wartości definicji i wartości pola

W każdej funkcji znajdują się dwie zmienne - niezależna zmienna i zmienna zależna, których wartości zależą od wartości zmiennej niezależnej. Na przykład w funkcji y = FA(X) = 2X + y Zmienna niezależna jest "X" i zależna - "Y" (innymi słowy "Y" jest funkcją "X"). Dopuszczalne wartości niezależnej zmiennej "X" nazywane są obszar definicji pola, a wartości zmiennej zależnej "Y" nazywane są dziedziną wartości funkcyjnych.

Kroki

Część 1 z 3:

Znalezienie obszaru definicji pola

jeden. Określ typ podanych funkcji. Pole wartości funkcyjnych są wszystkie wartości "X" (osadzone wzdłuż osi poziomej), co odpowiada wartościom "Y". Funkcja może być kwadratowa lub zawierać frakcje lub korzenie. Aby znaleźć obszar definicji pola, musisz najpierw określić rodzaj funkcji.

Funkcja kwadratowa ma formę: AX + BX + C: F (x) = 2x + 3x + 4
Funkcja zawierająca frakcję: F (x) = (/_X), f (x) = /_{(x - 1)} (itp).
Funkcja zawierająca root: f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x (i tak dalej).

Obraz zatytułowany Znajdź domenę i zakres funkcji Krok 2

2. Wybierz odpowiedni wpis dla obszaru definicji funkcji. Obszar definicji jest napisany w kwadratach i / lub nawiasach. Uchwyt kwadratowy jest używany w przypadku, gdy wartość wchodzi do funkcji określania funkcji - jeśli wartość nie jest zawarta w obszarze definicji, używany jest okrągły wspornik. Jeśli funkcja ma kilka negatywnych obszarów definicji, symbol "U" jest ustawiony między nimi.

Na przykład obszar definicji [-2.10) U (10,2] zawiera -2 i 2 wartości, ale nie obejmuje 10.

Okrągłe wsporniki są zawsze używane z symbolem nieskończoności ∞.

Obraz zatytułowany Znajdź domenę i zakres funkcji Krok 3

3. Zbuduj wykres funkcji kwadratowej. Harmonogram takiej funkcji jest parabola, której gałęzie są skierowane lub w górę lub w dół. Ponieważ parabola wzrasta lub zmniejsza się w całym osi X, obszar określania funkcji kwadratowej jest wszystkimi ważnymi numerami. Innymi słowy, obszar definicji takiej funkcji jest ustawiony R (R oznacza wszystkie ważne numery).

Aby lepiej wyjaśnić koncepcję funkcji, wybierz dowolną wartość "X", zastąp ją do funkcji i znajdź wartość "U". Para wartości "X" i "Y" to punkt z współrzędnymi (X, Y), który leży na wykresie funkcji.

Zastosuj ten punkt na płaszczyźnie współrzędnych i wykonaj opisany proces z inną wartością "x".

Stosując płaszczyźnie współrzędnych kilku punktów, otrzymasz ogólną ideę formy funkcji.

Obraz zatytułowany Znajdź domenę i zakres funkcji Krok 4

cztery. Jeśli funkcja zawiera frakcję, utożsamiać jego mianownik do zera. Pamiętaj, że niemożliwe jest podział do zera. Dlatego równowaga mianownika do zera, znajdziesz wartości "X", które nie są zawarte w obszarze definicji pola.

Na przykład znajdź obszar definicji pola f (x) = /_{(x - 1)}.

Oto mianownik: (x - 1).

Zrównoważyć mianownik do zera i znajdź "X": x - 1 = 0- x = 1.

Zapisz obszar definicji funkcji. Obszar definicji nie zawiera 1, to jest, zawiera wszystkie ważne numery z wyjątkiem 1. W ten sposób funkcja określania funkcji: (-∞, 1) U (1, ∞).

Nagrywanie (-∞, 1) U (1, ∞) jest takie: zestaw wszystkich ważnych numerów z wyjątkiem 1. Symbol nieskończoności ∞ oznacza wszystkie rzeczywiste liczby. W naszym przykładzie wszystkie ważne numery, które są więcej niż 1 i mniej niż 1, są zawarte w obszarze definicji.

Obraz zatytułowany Znajdź domenę i zakres funkcji Krok 5

pięć. Jeśli funkcja zawiera pierwiastek kwadratowy, wyrażenie podawania powinno być większe niż lub równe zero. Pamiętaj, że pierwiastek kwadratowy liczb ujemnych nie jest usuwany. Dlatego jakakolwiek wartość "X", w której wyrażenie podawania staje się ujemne, należy wykluczyć z funkcji określania funkcji.

Na przykład znajdź obszar definicji pola f (x) = √ (x + 3).

Wyrażenie opiekuna: (x + 3).

Wyrażenie podawania powinno być większe lub równe zero: (x + 3) ≥ 0.

Znajdź "x": x ≥ -3.

Obszar definicji tej funkcji zawiera zestaw wszystkich ważnych liczb, które są większe lub równe -3. W ten sposób obszar definicji: [-3, ∞).

Część 2 z 3:

Znalezienie obszaru wartości funkcji kwadratowych

jeden. Upewnij się, że masz funkcję kwadratową. Funkcja kwadratowa ma formę: AX + BX + C: F (x) = 2x + 3x + 4. Harmonogram takiej funkcji jest parabola, której gałęzie są skierowane lub w górę lub w dół. Istnieją różne metody znalezienia regionu wartości funkcji kwadratowych.

Najprostszym sposobem znalezienia obszaru funkcji funkcji zawierającej korzeń lub frakcję jest zbudowanie wykresu takiej funkcji przy użyciu kalkulatora graficznego.

Obraz zatytułowany Znajdź domenę i zakres funkcji Krok 7

2. Znajdź współrzędną "X" grafiki wierzchołkowej funkcji. W przypadku funkcji kwadratowej znajdź współrzędną "X" szczytu paraboli. Pamiętaj, że funkcja kwadratowa jest: AX + BX + C. Aby obliczyć współrzędną "X", użyj następującego równania: x = -b / 2a. Równanie to pochodzi z głównej funkcji kwadratowej i opisuje styczne, którego współczynnik kątowy jest zerowy (styczny na górę parabolli równolegle do osi x).

Na przykład znajdź zakres wartości funkcji 3x + 6x -2.

Oblicz współrzędną "X" Vertex Parabola: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1

Obraz zatytułowany Znajdź domenę i zakres funkcji Krok 8

3. Znajdź funkcję grafiki współrzędnej "Y" VERTEX. Aby to zrobić, zastąpić znalezioną koordynatę "X". Pożądana koordynacja "Y" jest wartością graniczną pola wartości funkcyjnych.

Oblicz współrzędną "Y": y = 3x + 6x - 2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5

Współrzędne paraboli w wierzchołku tej funkcji: (-1, -5).

Obraz zatytułowany Znajdź domenę i zakres funkcji Krok 9

cztery. Określ kierunek paraboli, zastępując funkcję co najmniej jednej wartości "x". Wybierz dowolną inną wartość "X" i zastąp ją do funkcji, aby obliczyć odpowiednią wartość "Y". Jeśli znalazła wartość "Y" ma więcej współrzędnych wierzchołków "U" parabola, a następnie Parabola jest skierowana do góry. Jeśli znalazła wartość "y" jest mniejsza niż współrzędna "Y" szczytu paraboli, a następnie parabola jest skierowana w dół.

Zastąp funkcję X = -2: Y = 3x + 6x - 2 = Y = 3 (-2) + 6 (-2) - 2 = 12 -12 -2 = -2.

Współrzędne punktu leżącego na paraboli: (-2, -2).

Znalezione współrzędne wskazują, że gałęzie paraboli są skierowane do góry. W ten sposób funkcja wartości funkcyjnych zawiera wszystkie wartości "Y", które są większe lub równe -5.

Zakres wartości tej funkcji: [-5, ∞)

Obraz zatytułowany Znajdź domenę i zakres funkcji Krok 10

pięć. Funkcja wartości funkcji jest rejestrowana podobna do obszaru definicji pola. Wspornik kwadratowy jest używany w przypadku, gdy wartość wchodzi do funkcji wartości funkcji - jeśli wartość nie jest zawarta w zakresie wartości, używany jest okrągły wspornik. Jeśli funkcja ma kilka obszarów nieiernych wartości wartości, symbol "U" jest pomiędzy nimi.

Na przykład wartość [-2.10) U (10.2] zawiera wartości -2 i 2, ale nie obejmuje 10.

Okrągłe wsporniki są zawsze używane z symbolem nieskończoności ∞.

Część 3 z 3:

Znalezienie obszaru wartości funkcji według jego harmonogramu

jeden. Zbuduj wykres funkcji. W wielu przypadkach łatwiej jest znaleźć szereg wartości funkcyjnych, budując harmonogram IT. Obszar wartości wielu funkcji z korzeniami jest (-∞, 0] lub [0, + ∞), ponieważ wierzchołek Pearabol skierowany do prawej lub lewej leży na osi X. W tym przypadku zakres wartości obejmuje wszystkie wartości dodatnie "Y", jeżeli parabol rośnie lub wszystkie ujemne wartości "Y", jeśli zmniejsza się parabola. Funkcje z frakcjami mają asymptoty określające zakres wartości.

Wierzchołki wykresów niektórych funkcji są zakorzenione powyżej lub poniżej osi X. W tym przypadku zakres wartości jest określony przez współrzędną "U" górnej części paraboli. Jeśli na przykład, współrzędna "Y" wierzchołka parabolseravnaya -4 (y = -4), a parabola wzrasta, region wartości jest równy [-4, + ∞).
Najprostszym sposobem na budowę harmonogramu funkcji jest użycie kalkulatora graficznego lub specjalnego oprogramowania.
Jeśli nie masz kalkulatora graficznego, zbuduj przybliżony harmonogram, zastępując kilka wartości "X" i obliczyć odpowiednie wartości "Y". Zastosuj znalezione punkty na płaszczyźnie współrzędnych, aby uzyskać ogólną ideę formularza grafiki.

Obraz zatytułowany Znajdź domenę i zakres funkcji Krok 12

2. Znajdź minimalną funkcję. Buing harmonogram funkcji, zobaczysz na niej punkt, w którym funkcja ma minimalną wartość. Jeśli nie ma minimum wizualnego, nie istnieje, a harmonogram funkcji idzie w -∞.

Pole wartości funkcyjnych obejmuje wszystkie wartości "Y" z wyjątkiem asymptotów. Często obszary wartości takich funkcji są zapisywane w następujący sposób: (-∞, 6) U (6, ∞).

Obraz zatytułowany Znajdź domenę i zakres funkcji Krok 13

3. Określ maksymalną funkcję. Buing harmonogram funkcji, zobaczysz na nim punkt, w którym funkcja ma maksymalną wartość. Jeśli nie ma maksimum wizualnego, nie istnieje, a wykres funkcji trafia do + ∞.

Obraz zatytułowany Znajdź domenę i zakres funkcji Krok 14

cztery. Funkcja wartości funkcji jest rejestrowana podobna do obszaru definicji pola. Wspornik kwadratowy jest używany w przypadku, gdy wartość wchodzi do funkcji wartości funkcji - jeśli wartość nie jest zawarta w zakresie wartości, używany jest okrągły wspornik. Jeśli funkcja ma kilka obszarów nieiernych wartości wartości, symbol "U" jest pomiędzy nimi.

Na przykład wartość [-2.10) U (10.2] zawiera wartości -2 i 2, ale nie obejmuje 10.

Okrągłe wsporniki są zawsze używane z symbolem nieskończoności ∞.