Jak obojętnieć ukrytą funkcję: 7 kroków

Gdy otrzymasz wyraźną funkcję, w której zmienna zależna jest izolowana po jednej stronie znaku równości (na przykład y = x -3x), wtedy można łatwo bezpośrednio obojętnieć (czyli, aby znaleźć jego pochodną). Ale ukryte funkcje (na przykład, x + y - 5x + 8y + 2xy = 19), w których nie jest tak proste, aby oddzielić zmienną zależną inaczej inaczej inaczej.

Kroki

Metoda 1 z 2:

Znalezienie pochodnej prostej funkcji

jeden. Po obu stronach funkcji znajdziesz (w standardowym sposobie) pochodne członków zawierających niezależną zmienną "X" i członków wolnych pochodnych. Na tym etapie członkowie zawierający zmienną zależną "Y", dopóki nie dotkniesz. Na przykład, funkcja X + Y jest podana - 5x + 8Y + 2xy = 19.

W naszym przykładzie X + Y - 5X + 8Y + 2xy = 19 Są dwa elementy z zmiennej "X": x i -5x. Znajdź ich pochodne:
X + y - 5x + 8Y + 2xy = 19
(Stopień 2 w X zrobić mnożnik, w -5x pozbyć się "X" i pochodną 19 wynosi 0)
2x + Y - 5 + 8Y + 2XY = 0

Obraz zatytułowany nie ukrytą różnicowanie Krok 2

2. Teraz przyjmuj pochodne z członka z zmiennej "Y" i nałożyć im (dy / dx). Na przykład, gdy znajdując pochodną członka, napisz go w następujący sposób: 2Y (dy / dx). Na tym etapie członkowie zawierający obie zmienne ("X" i "Y"), dopóki nie dotkniesz.

W naszym przykładzie 2x + Y - 5 + 8Y + 2xy = 0 różnicuj członków Y i 8Y:

2x + Y - 5 + 8Y + 2XY = 0

(Wskaźnik stopnia 2 V M do wykonania mnożnika, a w 8. pozbycie się "Y" - następnie narzucić do otrzymanej pochodnej DX / DY)

2x + 2Y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0

Obraz zatytułowany nie ukrytym różnicowanie Krok 3

3. Aby znaleźć pochodną członkowską zawierającą produkt dwóch zmiennych ("X" i "Y"), wykorzystaj funkcję różnicowania funkcji funkcji: (F × g) `= f` × g + g × f `, gdzie zamiast f substratu "x", a zamiast g - "y". Z drugiej strony, aby znaleźć pochodną członka zawierającego prywatne dwie zmienne ("X" i "Y"), wykorzystując zasadę zróżnicowania funkcji prywatnych: (F / g) `= (g × f` - g `× f) / g, gdzie zamiast f substratu "x", a zamiast g - "y" (lub odwrotnie, w zależności od podanych funkcji).

W naszym przykładzie 2x + 2Y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2H = 0 Jest jeden członek z obydwoma zmiennymi: 2xy. Ponieważ tutaj zmienne są mnożone, użyj funkcji różnicowania funkcji:

2xy = (2x) (y) - Niech 2x = f i y = g (f × g) `= f` × g + g × f `

(F × g) `= (2x)` × (y) + (2x) × (y) "

(F × g) `= (2) × y) + (2x) × (2Y (dy / dx))

(F × g) `= 2Y + 4xy (dy / dx)

Dodaj tych członków do głównej funkcji i uzyskać: 2x + 2Y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2Y + 4xy (dy / dx) = 0

Obraz zatytułowany nie ukryte różnicowanie Krok 4

cztery. Zrobił (dy / dx). Należy. W przypadku separacji (dy / dx) prześlij wszystkie elementy bez (dy / dx) na jedną stronę znaku równości, a następnie podzielić je do członków stojących w nawiasach w (dy / dx).

W naszym przykładzie 2x + 2Y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2Y + 4xy (dy / dx) = 0:

2x + 2Y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2Y + 4xy (dy / dx) = 0

(2Y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2Y = 0

(2Y + 8 + 4XY) (dy / dx) = -2y - 2x + 5

(dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2Y + 8 + 4xy)

(Dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Metoda 2 z 2:

Zaawansowane metody

jeden. Wartości dźwiękowe (x, y), aby znaleźć (dy / dx) dla każdego punktu. Zobowiązany (dy / dx), znalazłeś pochodną ukrytej funkcji. Korzystając z tej pochodnej, można znaleźć współczynnik kątowy stycznego w dowolnym punkcie (X, Y), po prostu zastępując w znalezionej pochodnej współrzędnych "X" i "Y".

Na przykład konieczne jest znalezienie współczynnika kątowego stycznego w punkcie A (3, -4). Aby to zrobić, w pochodnej zamiast "X" substytutu 3, a zamiast substytutu "Y" -4:
(Dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
(Dy / dx) = (-2 (-4) - 2 (3) + 5) / (2 (2 (3) (- 4) + (-4) + 4)
(Dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))
(Dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
(Dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))
(Dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48 = 0,6875.

Obraz zatytułowany Wykonaj domniemany etap 6

2. Skorzystaj z łańcucha Szczegóły zróżnicowania kompleksowych funkcji: Jeśli funkcja f (x) może być zapisana w formularzu (f O g) (x), pochodna f (x) jest równa F `(g (x)) g` (x). Oznacza to, że pochodna składu dwóch lub więcej funkcji może być obliczona na podstawie poszczególnych instrumentów pochodnych.

Przykład: Znajdź pochodną grzechu (3x + x). W takim przypadku oznaczają grzech (3x + X) jako "f (x)" i 3x + x jak "G (x)".

F `(g (x)) g` (x)

(grzech (3x + x)) `× (3x + x) "

Cos (3x + x) × (6x + 1)

(6x + 1) COS (3x + X)

Obraz zatytułowany Wykonaj niejawny różnicowanie Krok 7

3. Jeśli funkcja zawiera zmienne "X", "Y", "Z", znajdź (DZ / DX) i (DZ / dy). Oznacza to, że jeśli funkcja zawiera więcej niż dwie zmienne, dla każdej dodatkowej zmiennej konieczne jest znalezienie dodatkowej pochodnej "X". Na przykład, jeśli funkcja zawiera zmienne "X", "Y", "Z", musisz znaleźć (Dz / DX) i (DZ / DY). Możesz to zrobić, kierując funkcję przez "X" dwa razy - po raz pierwszy dodasz (DZ / DX) dla każdego dokładnego elementu z "Z", a po raz drugi dodam (DZ / DY) podczas różnicowania "z". Po tym, po prostu oddzielony (DZ / DX) i (DZ / DY).

Na przykład znajdź pochodną xz - 5xyz = x + y.

Po pierwsze, obojętny przez "X" i dodać (DZ / DX). Nie zapomnij zastosować zasady znalezienia pochodnej funkcji funkcji.

xz - 5xyz = x + y

3xz + 2xz (DZ / DX) - 5YZ - 5XY (DZ / DX) = 2x

3xz + (2xz - 5xy) (DZ / DX) - 5YZ = 2x

(2xz - 5xy) (DZ / DX) = 2x - 3XZ + 5YZ

(DZ / DX) = (2x - 3xz + 5YZ) / (2xz - 5xy)

Teraz rób to samo dla (DZ / DY):

xz - 5xyz = x + y

2xZ (DZ / DY) - 25xyz - 5xy (DZ / DY) = 3Y

(2xz - 5xy) (DZ / dy) = 3Y + 25xyz

(DZ / DY) = (3Y + 25XYZ) / (2xz - 5xy)