Jak rozwiązać równania trygonometryczne: 8 kroków

Równanie trygonometryczne zawiera jedną lub więcej trygonometrycznych funkcji zmiennej "X" (lub dowolnej innej zmiennej). Rozwiązaniem równania trygonometrycznego jest znalezienie takiej wartości "x", która spełnia funkcje (funkcje) i równanie ogólnie.

Rozwiązania równań trygonometrycznych są wyrażone w stopniach lub radianach. Przykłady:

x = π / 3- x = 5π / 6- x = 3π / 2-x = 45 degreesh = 37,12 degrateresh = 178,37 stopni.

Uwaga: Wartości funkcji trygonometrycznych z kątów wyrażonych w radianach i z kątów wyrażonych w stopniach są równe. Okrąg trygonometryczny z promieniem równym jednym, służy do opisywania funkcji trygonometrycznych, a także weryfikować poprawność roztworu głównych równań trygonometrycznych i nierówności.
Przykłady równań trygonometrycznych:

SIN X + SIN 2X = 1/2-TG X + CTG X = 1,732;
COS 3X + SIN 2X = COS X-2SIN 2X + COS X = 1 .

Koło trygonometryczne z promieniem równym jednym (pojedynczym okręgu).
Jest to koło o promieniu równym jednym, a centrum w momencie. Pojedynczy koło opisuje 4 podstawowe funkcje trygonometryczne zmiennej "X", gdzie "X" jest kątem liczącym z pozytywnego kierunku osi X w lewo.
Jeśli "X" jest kątem na jednym kręgu, to:
Oś pozioma OAH określa funkcję F (x) = COMI.
Oś pionowa ovy definiuje funkcję F (x) = sin x.
Oś pionowa w definiuje funkcję f (x) = tg x.
Horyzontalna oś BU określa funkcję F (X) = CTG X.

Koło jednostkowe jest również stosowane w rozwiązywaniu głównych równań trygonometrycznych i nierówności (istnieją różne przepisy "X").

Kroki

jeden. Koncepcja rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Aby rozwiązać równanie trygonometryczne, przekształcić go w jeden lub więcej głównych równań trygonometrycznych. Rozwiązanie równania trygonometrycznego jest ostatecznie zmniejszone do rozwiązywania czterech głównych równań trygonometrycznych.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań trygonometrycznych Krok 2

2. Rozwiązanie głównych równań trygonometrycznych.

Istnieją 4 rodzaje podstawowych równań trygonometrycznych:

Grzech x = a- cos x = a

Tg x = a- ctg x = a

Rozwiązanie głównych równań trygonometrycznych oznacza rozważenie różnych przepisów "X" na jednym okręgu, a także użycie tabeli konwersji (lub kalkulatora).

Przykład 1. Sin x = 0,866. Korzystanie z tabeli konwersji (lub kalkulatora) otrzymasz odpowiedź: x = π / 3. Pojedynczy koło daje kolejną odpowiedź: 2π / 3. Pamiętaj: Wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe, czyli ich wartości są powtarzane. Na przykład częstotliwość grzechu X i COS X wynosi 2πn, a częstotliwość TG X i CTG X jest równa πn. Dlatego odpowiedź jest zapisana w następujący sposób:

x1 = π / 3 + 2πn- x2 = 2π / 3 + 2πn.

Przykład 2. Cos x = -1/2. Korzystanie z tabeli konwersji (lub kalkulatora) otrzymasz odpowiedź: x = 2π / 3. Pojedyncze koło daje kolejną odpowiedź: -2π / 3.

x1 = 2π / 3 + 2π x2 = -2π / 3 + 2π.

Przykład 3. Tg (x - π / 4) = 0.

Odpowiedź: x = π / 4 + πn.

Przykład 4. CTG 2X = 1,732.

Odpowiedź: x = π / 12 + πn.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań trygonometrycznych Krok 3

3. Transformacja stosowana w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych.

Aby przekształcić równania trygonometryczne, stosuje się transformacje algebraiczne (rozkład na mnożnikach, przynosząc jednorodnych członków i t.RE.) i trygonometria.

Przykład 5. Wykorzystanie tożsamości trygonometrycznej, grzech X + SIN 2X + SIN 3X = 0 równania jest konwertowane na równanie 4C4 x * (3x / 2) * COS (X / 2) = 0. Zatem należy rozwiązać następujące główne równania trygonometryczne: COS X = 0- Sin (3x / 2) = 0- Cos (X / 2) = 0.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań trygonometrycznych Krok 4

cztery. Znalezienie rogu znanych wartości funkcji.

Przed badaniem metod rozwiązywania równań trygonometrycznych należy dowiedzieć się, jak znaleźć narożniki zgodnie z znanymi wartościami funkcji. Można to zrobić za pomocą tabeli konwersji lub kalkulatora.

Przykład: cos x = 0,732. Kalkulator da odpowiedź X = 42,95 stopni. Pojedyncze koło da dodatkowe narożniki, których cosinus jest równy 0,732.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań trygonometrycznych Krok 5

pięć. Postuluj decyzję w jednym kręgu.

Możesz odroczyć równe stałe równanie konfiguracji pojedynczego koła. Rozwiązania równania trygonometrycznego na jednym okręgu są wierzchołki prawidłowego wielokąta.

Przykład: Rozwiązania X = π / 3 + πn / 2an Pojedynczy koło to wierzchołki kwadratu.

Przykład: Rozwiązania X = π / 4 + πn / 35 Pojedynczy koło to wierzchołki prawidłowego sześciokąt.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań trygonometrycznych Krok 6

6. Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Jeśli to równanie trygonometryczne zawiera tylko jedną funkcję trygonometryczną, rozwiązuje to równanie jako główne równanie trygonometryczne. Jeśli równanie obejmuje dwie lub więcej funkcji trygonometrycznych, istnieją 2 sposoby rozwiązywania takiego równania (w zależności od możliwości jego transformacji).

Metoda 1.

Konwertuj to równanie do równania formy: f (x) * g (x) * h (x) = 0, gdzie f (x), g (x), h (x) - główne równania trygonometryczne.

Przykład 6. 2cos x + sin 2x = 0.(0 < x>

Decyzja. Korzystanie z formuły podwójnego kąta Sin 2x = 2 * Sin x * Cos, zastąp Sin 2x.

2SSS x + 2 * SIN X * COS X = 2CO X * (SIN X + 1) = 0. Teraz zdecyduj o dwóch głównych równań trygonometrycznych: COS X = 0 i (SIN X + 1) = 0.

Przykład 7.Cos x + cos 2x + cos 3x = 0.(0 < x>

Rozwiązanie: przy użyciu tożsamości trygonometrycznej, przekształcone równanie z równaniem formularza: COS 2X (2CO X + 1) = 0. Teraz decyduj o dwóch głównych równań trygonometrycznych: COS 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.

Przykład 8.Sin X - Sin 3x = Cos 2x .(0 < x>

Roztwór: przy użyciu tożsamości trygonometrycznej, konwertowane równanie do równania typu: -COS 2x * (2SIN X + 1) = 0. Teraz zdecyduj, że dwa główne równania trygonometryczne: COS 2X = 0 i (2SIN X + 1) = 0.

Metoda 2.

Konwertuj to równanie trygonometryczne do równania zawierającego tylko jedną funkcję trygonometryczną. Następnie zastąp tę funkcję trygonometryczną do niektórych nieznanych, na przykład t (sin x = t- cos x = t- cos 2x = t, tg x = t- tg (x / 2) = t i t.RE.).

Przykład 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 < x>

Decyzja. W tym równaniu, wymień (cos ^ 2 x) na (1 - Sin ^ 2 x) (zgodnie z tożsamością). Przekształcony równanie to:

3SIN ^ 2 x - 2 + 2SIN ^ 2 x - 4SIN X - 7 = 0. Zastąp grzech x na t. Teraz równanie wynosi: 5t ^ 2 - 4T - 9 = 0. Jest to równanie kwadratowe o dwóch korzeniach: T1 = -1 i T2 = 9/5. Drugi root T2 nie spełnia wartości wartości funkcji (-1 < sin>

Przykład 10. Tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2

Decyzja. Wymaga z X na t. Przepisz początkowe równanie w następującym formularzu: (2t + 1) (T ^ 2 - 1) = 0. Teraz znajdź t, a następnie znajdź x dla t = tg x.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań trygonometrycznych Krok 7

7. Specjalne równania trygonometryczne.

Istnieje kilka specjalnych równań trygonometrycznych, które wymagają określonych transformacji. Przykłady:

a * sin x + b * cos x = c - a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;

A * grzech ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań trygonometrycznych Krok 8

osiem. Okresowość funkcji trygonometrycznych.

Jak wspomniano wcześniej, funkcje ekstrakagotonometryczne są okresowe, czyli ich wartości są powtarzane po określonym czasie. Przykłady:

Funkcja funkcjiF (x) = sin x jest 2π.

Funkcja funkcjiF (x) = tg x jest równa π.

Funkcja funkcjiF (x) = sin 2x jest równy π.

Funkcja funkcjiF (x) = cos (X / 2) wynosi 4π.

Jeśli okres jest określony w zadaniu, oblicz wartość "X" w tym okresie.

UWAGA: Rozwiązanie własne trygonometryczne - trudne zadanie, które często prowadzi do błędów. Dlatego uważnie sprawdzaj odpowiedzi. Aby to zrobić, możesz użyć kalkulatora graficznego, aby skonstruować wykres tego równania R (X) = 0. W takich przypadkach roztwory zostaną przedstawione w postaci frakcji dziesiętnych (to znaczy π zastępuje się 3,14).