Jak rozwiązać równania z rootem (z ilustracjami)

Chociaż przerażający rodzaj symbolu korzenia kwadratowego i może sprawić, że mężczyzna krębie, nie silny w matematyce, zadania z korzeniem kwadratowym nie są tak trudne, ponieważ może się wydawać. Proste zadania z kwadratowym korzeniem dość często można rozwiązać tak łatwo jako konwencjonalne zadania z mnożeniem lub podziałem. Z drugiej strony, bardziej złożone zadania może wymagać pewnego wysiłku, ale z właściwym podejściem, nawet nie zacytują cię. Zacznij rozwiązywać zadania z korzeniem, aby nauczyć się tej radykalnej nowej zdolności matematycznej!

Kroki

Część 1 z 3:

Zrozumienie kwadratów liczb i kwadratowych korzeni

jeden. Zbuduj numer na placu, pomnożając go sam. Aby zrozumieć kwadratowe korzenie, lepiej zacząć od kwadratów liczb. Kwadraty liczb są dość proste: konstrukcja liczby w kwadracie oznacza pomnożenie go sam. Na przykład, 3 na placu jest taki sam jak 3 × 3 = 9, a 9 na placu jest taki sam jak 9 × 9 = 81. Kwadraty są oznaczone pisaniem małej liczby "2" na prawo powyżej numeru podwyższonego. Przykład: 3, 9, 100 i tak dalej.

Spróbuj zbudować kilka liczb do placu, aby wypróbować tę koncepcję. Pamiętaj, że erekcja liczby w kwadracie oznacza, że ten numer powinien pomnożyć sam. Można to zrobić nawet dla liczb ujemnych. W tym przypadku wynik zawsze będzie pozytywny. Na przykład: -8 = -8 × -8 = 64.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie problemów z rootem kwadratowym Krok 2

2. Jeśli chodzi o kwadratowe korzenie, jest odwrotny proces budowy kwadratu. Symbol korzenia (√, jest również nazywany rodnikiem) zasadniczo oznacza przeciwieństwo symbolu . Kiedy widzisz radykalny, musisz zapytać siebie: "Jaki numer można pomnożyć sam, aby uzyskać numer pod rootem?". Na przykład, jeśli zobaczysz √ (9), musisz znaleźć numer, który kiedy jesteśmy na placu, dałby numer dziewięć. W naszym przypadku liczba ta będzie trzema, ponieważ 3 = 9.

Rozważmy inny przykład i znajdź korzeń 25 (√ (25)). Oznacza to, że musimy znaleźć numer, który na placu dał nam 25. Od 5 = 5 × 5 = 25, możemy powiedzieć, że √ (25) = 5.

Możesz także pomyśleć o tym jako "odwołanie" budowy placu. Na przykład, jeśli musimy znaleźć √ (64), root kwadratowy 64, pomyślmy o tym, jak około 8. Od symbolu korzenia "anuluje" budowę placu, możemy powiedzieć, że √ (64) = √ (8) = 8.

Obraz zatytułowany Solve Square Root Problemy Krok 3

3. Znać różnicę między idealną a nie doskonałą konstrukcją na placu. Do tej pory odpowiedzi na nasze zadania z korzeniem były dobre i okrągłe liczby, ale nie zawsze jest tak. Odpowiedzi z zadań kwadratowych mogą być bardzo długimi i niewygodnymi numerami o ułamku dziesiętnym. Liczby, których korzeń jest liczbami całkowitymi (innymi słowy, liczby, które nie są frakcji) są nazywane pełnymi kwadratami. Wszystkie wyżej wymienione przykłady (9, 25 i 64) są kompletnymi kwadratami, ponieważ ich korzeń będzie liczbą całkowitą (3,5 i 8).

Z drugiej strony, liczby, które podczas budowy korzenia nie dają liczby całkowitej, nazywają się niekompletnymi kwadratami. Jeśli umieścisz jedną z tych liczb pod korzeniem, otrzymasz numer z ułamkiem dziesiętnym. Czasami taka liczba może być bardzo długa. Na przykład √ (13) = 3,605551275464...

Obraz zatytułowany rozwiązuje problemy z korzenia kwadratowego Krok 4

cztery. Pamiętaj o pierwszych 1-12 pełnych kwadratach. Jak zapewne już zauważyłeś, znajdź pełny kwadratowy korzeń jest dość łatwy! Ze względu na fakt, że te zadania są takie proste, warto pamiętać o korzeniach pierwszego kilkunastu pełnych kwadratów. Jeszcze raz po raz kolejny natkną się na te liczby, więc spędzasz trochę czasu na zapamiętanie ich wcześnie i zaoszczędzić czas w przyszłości.

1 = 1 × 1 = jeden

2 = 2 × 2 = cztery

3 = 3 × 3 = dziewięć

4 = 4 × 4 = szesnaście

5 = 5 × 5 = 25

6 = 6 × 6 = 36

7 = 7 × 7 = 49

8 = 8 × 8 = 64

9 = 9 × 9 = 81

10 = 10 × 10 = 100

11 = 11 × 11 = 121

12 = 12 × 12 = 144

Obraz zatytułowany Rozwiązaj problemy z korzeniem kwadratowego Krok 5

pięć. Uprość korzenie, usuwając z niego pełne kwadraty, jeśli to możliwe. Znajdź niekompletny pierwiastek kwadratowy może czasami nie być łatwy, zwłaszcza jeśli nie używasz kalkulatora (w sekcji poniżej znajdziesz kilka sztuczek, jak ułatwić ten proces). Jednak często możliwe jest uproszczenie liczby pod korzeniem, aby łatwiej było z nim pracować. Aby to zrobić, wystarczy podzielić liczbę pod korzeniem na czynnikach, a następnie znajdź korzeń mnożnika, który jest kompletnym kwadratem i napisz go poza korzeniem. To jest łatwiejsze niż wydaje się. Przeczytaj dalej, aby uzyskać więcej informacji.

Załóżmy, że musimy znaleźć root kwadratowy 900. Na pierwszy rzut oka wydaje się dość ciężkie! Jednak nie będzie tak trudny, jeśli podzielimy numer 900 dla mnożników. Rolnicy są liczbami, które są mnożone przez siebie, aby dać nowy numer. Na przykład, numer 6 można uzyskać, mnożąc 1 × 6 i 2 × 3, jego mnożniki będą numery 1, 2, 3 i 6.

Zamiast poszukiwania korzenia numeru 900, który jest trochę trudny, pićmy 900, jako mnożenie 9 × 100. Teraz, że numer 9, który jest pełnym kwadratem, oddzielonym od 100, możemy znaleźć jego root. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Innymi słowy, √ (900) = 3√ (100).

Możemy nawet iść dalej, dzieląc 100 do dwóch czynników, 25 i 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Dlatego możemy powiedzieć, że √ (900) = 3 (10) = 30

Obraz zatytułowany Solve Square Root Problemy Krok 6

6. Użyj wyobrażonych liczb, aby znaleźć korzeń liczby ujemnej. Zadaj sobie pytanie, co się mnożąta, da -16? Nie jest 4 i nie -4, ponieważ konstrukcja tych liczb na placu da nam pozytywną liczbę 16. Poddać się? W rzeczywistości nie ma sposobu na pisanie root -16 lub innej negatywnej liczby zwykłych liczb. W takim przypadku musimy zastąpić wyimaginowane liczby (zwykle w postaci liter lub znaków), aby były one zamiast korzenia liczby ujemnej. Na przykład zmienna "I" jest zwykle używana do budowy liczby -1 root. Z reguły korzeń liczby ujemnej zawsze będzie wyimaginowaną liczbą (lub zawartą w IT).

Wiem, że chociaż liczby wyobraźni nie mogą być reprezentowane przez konwencjonalne liczby, nadal mogą być traktowane jako takie. Na przykład, pierwiastek kwadratowy o liczbie ujemnej może być podniesiony na kwadrat, aby nadać te numery negatywne, jak każdy inny pierwiastek kwadratowy. Na przykład i = -jeden

Część 2 z 3:

Korzystanie z algorytmu podziału

jeden. Zapisz zadanie korzenia, jak zadanie dzielenia przez kolumnę. Chociaż może potrwać sporo czasu, dzięki czemu można rozwiązać problem z korzeniem niekompletnych kwadratów, bez uciekania się do pomocy kalkulatora. Aby to zrobić, użyjemy rozwiązania (algorytmu), który jest podobny (ale nie dokładnie taki sam) w zwykłym podziale przez kolumnę.

Aby rozpocząć, zapisz zadanie z korzeniem w tej samej formie, co podczas dzielącej kolumny. Załóżmy, że chcemy znaleźć pierwiastek kwadratowy numer 6.45, który zdecydowanie nie jest kompletnym kwadratem. Najpierw piszemy zwykły symbol kwadratowy, a następnie pod nią będziemy napisać numer. Następnie rysujemy linię powyżej numeru, aby okaże się w małym "pudełku", a także podczas dzielenia kolumny. Potem będziemy mieli korzeń o długim ogonie i wiele 6.45 pod nim.
Nad root będziemy pisać liczby, więc upewnij się, że tam zostaw.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie problemów z korzeniem kwadratowym Krok 8

2. Numery Grouper na parach. Aby rozpocząć rozwiązanie zadania, konieczne jest grupowanie numerów numeru poniżej pary par, począwszy od punktu w frakcji dziesiętnej. Jeśli chcesz, możesz zrobić małe oceny (jak punkty, ukośną linię, przecinki itp.) Między parami, aby nie mylić.

W naszym przykładzie musimy podzielić numer 6.45 do par w następujący sposób: 6-, 45-00. Należy pamiętać, że "pozostała" cyfra jest obecna w lewo - to normalne.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie problemów z korzeniem kwadratowym Krok 9

3. Znajdź największą liczbę, której plac jest mniejszy lub równy pierwszej "grupie". Zacznij od pierwszego dnia lub pary po lewej stronie. Wybierz najwyższą liczbę, której plac jest mniejszy lub równy pozostałej "grupie". Na przykład, jeśli grupa była równa 37, wybrałbyś numer 6, ponieważ 6 = 36 < 37> 37. Zapisz ten numer powyżej pierwszej grupy. Będzie to pierwsza cyfra twojej odpowiedzi.

W naszym przykładzie pierwsza grupa 6-, 45-00 będzie numer 6. Największa liczba, która na placu będzie mniejsza lub równa 6 wynosi 2 = 4. Napisz numer 2 na numerze 6, który jest pod korzeniem.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie Kwadratowe problemy z korzeniem Krok 10

cztery. Podwójnie napisane numery, a następnie obniż go pod korzeniem i zabierz. Weź pierwszą cyfrę swojej odpowiedzi (właśnie znalazłeś numer) i podwoić to. Zapisz wynik pod pierwszą grupą i zabierz, aby znaleźć różnicę. Opuść następne kilka liczb obok odpowiedzi. Wreszcie, napisz do lewej cyfry podwajając pierwszą cyfrę swojej odpowiedzi i pobyt w pobliżu.

W naszym przykładzie rozpoczniemy się od podwojenia figury 2, która jest pierwszą cyfrą naszej odpowiedzi. 2 × 2 = 4. Potem bierzemy 4 od 6 (nasza pierwsza "grupa"), po otrzymaniu 2. Następnie pomijamy następującą grupę (45), aby uzyskać 245. I wreszcie, po lewej stronie ponownie napiszemy kolejne 4, pozostawiając na końcu małą przestrzeń, taką: 4_

Obraz zatytułowany Rozwiązaj problemy z korzeniem kwadratowym Krok 11

pięć. Uzupełnij lukę. Następnie musisz dodać cyfrę do właściwej części nagranego numeru, który pozostaje. Wybierz cyfrę, przemieszczając się z nowym numerem, uzyskasz najważniejszy wynik, ale co byłoby mniejsze lub równe "pominiętym numerze". Na przykład, jeśli numer "obniżony" ma 1700, a numer po lewej stronie wynosi 40_, konieczne jest napisanie cyfry do cyfry 4, jak 404 × 4 = 1616 < 1700>

W naszym przykładzie musimy znaleźć numer i napisać ją w szczelinach 4_ × _, co sprawi, że odpowiedź jak najwięcej, ale wciąż mniejsza lub równa 245. W naszym przypadku jest to liczba 5. 45 × 5 = 225, podczas gdy 46 × 6 = 276

Obraz zatytułowany Rozwiązanie problemów z korzeniem kwadratowym Krok 12

6. Kontynuuj używanie numerów "Puste", aby znaleźć odpowiedź. Kontynuuj rozwiązanie tego zmodyfikowanego podziału przez kolumnę, aż zaczniesz odbierać zera podczas odjęcia "obniżonej" numeru lub do momentu uzyskania pożądanego poziomu dokładności odpowiedzi. Po zakończeniu liczby, które użyłeś do wypełnienia luki w każdym kroku (plus pierwszy numer) będzie liczbą odpowiedzi.

Kontynuowanie naszego przykładu, odbieramy 225 od 245, aby uzyskać 20. Następnie obniżemy następną parę liczb, 00, aby uzyskać 2000. Podwojenie liczby powyżej korzenia. Dostajemy 25 × 2 = 50. Rozwiązywanie przykładu ze spacjami, 50_ × _ = /< 2>

Obraz zatytułowany Rozwiązanie problemów z korzeniem kwadratowym Krok 13

7. Przesuń punkt ułamka dziesiętnego do przodu z pierwszego numeru "Podziel". Aby dokończyć odpowiedź, musisz umieścić dziesiętny punkt we właściwym miejscu. Na szczęście uczyń to dość łatwo. Wszystko, co musisz zrobić, to wyrównać go w stosunku do punktu oryginalnego numeru. Na przykład, jeśli liczba 49,8 stanie się pod root, będziesz musiał umieścić punkt między dwoma cyframi na dziewięć i osiem.

W naszym przykładzie, w ramach radykalnej Istnieje wiele 6,45, więc po prostu przesuwamy punkt i umieściliśmy go między liczbami 2 a 5 w naszej odpowiedzi, otrzymując odpowiedź równą 2,539.

Część 3 z 3:

Szybkie obliczanie niekompletnych kwadratów

jeden. Znajdź niekompletne kwadraty, obliczając je. Kiedy pamiętasz pełne kwadraty, poszukiwanie korzenia niekompletnych kwadratów będzie znacznie łatwiejsze. Ponieważ można już znać kilkanaście pełnych kwadratów, można znaleźć dowolną liczbę, która znajduje się w obszarze między tymi dwoma kompletnymi kwadratami, minimalizują wszystko do przybliżonych obliczeń między tymi wartościami. Zacznij od wyszukiwania dwóch pełnych kwadratów, między którym twój numer jest. Następnie określ, który z tych liczb jest bliższy.

Załóżmy na przykład, musimy znaleźć pierwiastek kwadratowy numer 40. Ponieważ pamiętamy pełne kwadraty, możemy powiedzieć, że liczba 40 wynosi od 6 do 7, liczby 36 i 49. Od 40 ponad 6, jego korzeń będzie więcej niż 6, a ponieważ jest mniejszy niż 7, jego korzeń będzie również mniejszy niż 7. 40 jest nieco bliżej 36 niż 49, więc odpowiedź prawdopodobnie będzie trochę bliższa 6. W poniższych kilku krokach Suzim nasza odpowiedź.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie problemów z korzeniem kwadratowym Krok 15

2. Oblicz pierwiastek kwadratowy, aż pierwszy znak po przecinku. Po wybraniu dwóch pełnych kwadratów, między którymi znajduje się Twój numer, wszystko sprowadza się do obliczenia, aż otrzymasz żądaną odpowiedź. Im więcej obliczysz, tym bardziej dokładna będzie twoja odpowiedź. Zacznij od faktu, który wybrać, gdzie umieścić punkt ułamka dziesiętnej w odpowiedzi. Nie powinno być prawdą, ale zaoszczędzisz czas, jeśli używasz logiki i umieścić punkt tak blisko, aby uzyskać poprawną odpowiedź.

W naszym przykładzie rozsądne oszacowanie korzenia kwadratowego o numerze 40 może wynosić 6,4, jak, na podstawie powyższych informacji, wiemy, że odpowiedź jest bliższa 6 niż 7.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie problemów z rootem kwadratowym Krok 16

3. Pomnóż przybliżoną liczbę siebie. Następną rzeczą, którą musisz zrobić, to wyprostować przybliżoną liczbę na placu. Najprawdopodobniej nie masz szczęścia i nie otrzymasz oryginalnego numeru. Będzie trochę duży, albo trochę mniejszy. Jeśli twój wynik jest zbyt duży, spróbuj ponownie, ale z nieco mniejszą przybliżoną liczbą (i przeciwnym, jeśli wynik jest zbyt niski).

Pomnożyć 6.4 sam, a otrzymasz 6,4 × 6,4 = 40,96, co jest nieco więcej dla pierwotnej liczby.

Ponieważ nasza odpowiedź okazała się więcej, musimy pomnożyć wiele jednej dziesiątej mniejszej niż przybliżoną i uzyskać następujące elementy: 6.3 × 6,3 = 39,69. Jest trochę mniej dla oryginalnego numeru. Oznacza to, że root kwadratowy 40 wynosi od 6.3 do 6.4. I znowu, jako 39,69 bliżej do 40 niż 40.96, wiemy, że root kwadratowy będzie bliżej 6.3 niż 6,4.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie problemów z korzeniem kwadratowym Krok 17

cztery. Kontynuuj obliczenia. Na tym etapie, jeśli jesteś zadowolony z odpowiedzi, możesz po prostu wziąć pierwszą przybliżoną wartość. Jednakże, jeśli chcesz uzyskać dokładniejszą odpowiedź, wszystko, co musisz zrobić, to wybrać przybliżoną wartość z dwoma oznakami ułamków dziesiętnej, która umieszcza tę przybliżoną wartość między dwiema pierwszymi liczbami. Kontynuując to liczenie, możesz uzyskać trzy, cztery i więcej półkolonów na odpowiedź. Wszystko zależy od tego, jak daleko chcesz iść.

W naszym przykładzie wybierzmy 6,33 jako przybliżoną wartość z dwoma płytami dziesiętnymi. Multiply 6.33 Samotnie, aby uzyskać 6.33 × 6,33 = 40,0689. Ponieważ jest trochę więcej niż nasz numer, przyjmiemy liczbę mniejszą, na przykład 6.32. 6.32 × 6,32 = 39.9424. Ta odpowiedź jest nieco mniejsza niż nasza liczba, więc wiemy, że dokładny korzeń kwadratowy wynosi od 6,32 do 6,33. Jeśli chcieliśmy kontynuować, nadal będziemy korzystać z tego samego podejścia, aby uzyskać odpowiedź, która stałaby się bardziej dokładna i dokładniejsza.

Rada

Aby szybko znaleźć rozwiązania, użyj kalkulatora. Najnowocześniejsze kalkulatory mogą natychmiast znaleźć pierwiastek kwadratowy numeru. Wszystko, co musisz zrobić, to wprowadź swój numer, a następnie kliknij przycisk za pomocą znaku głównego. Na przykład, aby znaleźć root 841, będziesz musiał nacisnąć 8, 4, 1 i (√). W rezultacie otrzymasz odpowiedź 39.