Jak rozwiązać równania kwadratowe -

Równanie kwadratowe nazywane jest taki równanie, w którym największa wartość stopnia zmiennej wynosi 2. Istnieją trzy podstawowe sposoby rozwiązywania równań kwadratowych: jeśli to możliwe, rozkłada równanie kwadratowe dla mnożników, aby użyć formuły głównej równania kwadratowego lub dodać do kompletnego kwadratu. Chcesz wiedzieć, jak to wszystko się robi? Czytaj.

Kroki

Metoda 1 z 3:

Rozkład czynników

jeden. Przewiń podobne elementy i przenieść do jednej części równania. Będzie to pierwszy krok, wartość

X 2

$x ^ {2}$ Powinien pozostać pozytywny. Złóż lub odlicz wszystkie wartości

X 2

$x ^ {2}$ ,

X

i stała, przeprowadzona w jednej części i pozostawiając 0 w innym. Tak się dzieje:

$2 X 2 - osiem X - cztery = 3 X - X^{2}$ $2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}$
$2 X 2 + X^{2} - osiem X - 3 X - cztery = 0$ $2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3X-4 = 0$
$3 X 2 - jedenaście X - cztery = 0$ $3x ^ {2} -11x-4 = 0$

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 2

2. Rozłóż wyrażenie na mnożnikach. Aby to zrobić, użyj wartości

X 2

$x ^ {2}$ (3), stałe wartości (-4), muszą mnożyć i formować -11. Oto jak to zrobić:

3 X 2

$3x ^ {2}$ Ma tylko dwa możliwe czynniki:

3 X

X

, Można je nagrać w nawiasach:

(3 X \pm ?) (X \pm ?) = 0

Dalsze, zastępujące mnożniki 4, znajdziemy kombinację podczas mnożenia daje -11x. Możesz użyć kombinacji 4 i 1 lub 2 i 2, ponieważ oba daje 4. Pamiętaj, że wartości muszą być ujemne, ponieważ jesteśmy -4.

Próbki i błąd otrzymujesz kombinację

(3 X + jeden) (X - cztery)

. Podczas mnożenia dostajemy

3 X 2 - 12 X + X - cztery

$3x ^ {2} -12x + X-4$ . Połączenie

- 12 X

X

, Dostajemy środkowy kogut

- jedenaście X

, którego szukaliśmy. Równanie kwadratowe jest rozkładane na mnożnikach.

Na przykład spróbuj niewłaściwej kombinacji: (

(3 X - 2) (X + 2)

3 X 2 + 6 X - 2 X - cztery

$3x ^ {2} + 6x-2x-4$ . Łącząc się, dostajemy

3 X 2 - cztery X - cztery

$3x ^ {2} -4x-4$ . Chociaż istnieją mnożniki -4 i 2 z mnożeniem --4, przeciętny członek nie pasuje, ponieważ chcieliśmy dostać

- jedenaście X

, ale nie

- cztery X

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 3

3. Zrównoważyć każdy wyraz w nawiasach do zera (jako osobne równania). Więc znajdziemy dwa znaczenia

X

, w którym wszystkie równanie wynosi zero,

(3 X + jeden) (X - cztery)

= 0. Teraz pozostaje równowagi zero każdej z wyrażeń w nawiasach. Dlaczego? Faktem jest, że praca jest równa zero, gdy przynajmniej jeden z mnożników wynosi zero. Tak jak

(3 X + jeden) (X - cztery)

równa się zero, a następnie (3x + 1), albo (x - 4) wynosi zero. Zanotować

3 X + jeden = 0

X - cztery = 0

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 4

cztery. Zdecyduj każdą równanie oddzielnie. W równaniu kwadratowym X ma dwie wartości. Zdecyduj równania i zapisz Wartości X:

Zdecyduj równanie 3x + 1 = 0

3x = -1 ..... przez odjęcie

3x / 3 = -1/3 ..... przez podział

x = -1/3 ..... Po uproszczeniu

Zdecyduj równanie X - 4 = 0

x = 4 ..... przez odjęcie

x = (-1/3, 4)..... Możliwe wartości, I.E. X = -1/3 lub X = 4.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 5

pięć. Sprawdź X = -1/3, zastępując tę wartość w (3x + 1) (x - 4) = 0:

(3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4) ?=? 0 ..... przez substytucję

(-1 + 1) (- 4 1/3) ?=? 0 ..... Po uproszczeniu

(0) (- 4 1/3) = 0 ..... Po pomnożeniu

0 = 0 Dlatego, X = -1/3 - poprawna odpowiedź.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 6

6. Sprawdź X = 4, zastępując tę wartość w (3x + 1) (x - 4) = 0:

(3 [4] + 1) ([4] - 4) ?=? 0 ..... przez substytucję

(13) (4 - 4) ?=? 0 ..... Po uproszczeniu

(13) (0) = 0 ..... Po pomnożeniu

0 = 0, Dlatego, X = 4 - poprawna odpowiedź.

Zatem oba rozwiązania są wierne.

Metoda 2 z 3:

Użycie korzenia równania kwadratowego

jeden. Połącz wszystkich członków i zapisz równanie z jednej strony. Zapisz wartość

X 2

$x ^ {2}$ pozytywny. Zapisz członków, aby zmniejszyć stopnie, więc członek

X 2

$x ^ {2}$ napisany pierwszy

X

A potem stały:

4x - 5x - 13 = x -5
4x - x - 5x - 13 +5 = 0
3x - 5x - 8 = 0

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 8

2. Zapisz formułę główną równania kwadratowego. Formuła ma następujący formularz:

- B \pm \sqrt{B} 2 - cztery ZA DO 2 ZA

${Frac {-b pm {sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2A}}$

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 9

3. Określ wartości A, B i C w równaniu kwadratowym. Zmienna ZA - Współczynnik członka X, B - Członek X, DO - stały. Do równania 3x -5x - 8 = 0, A = 3, B = -5 i C = -8. Zapisz to.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 10

cztery. Drugły wartości A, B i C do równania. Znając wartości trzech zmiennych, można zastąpić ich równaniem w następujący sposób:

{-B +/- √ (B - 4AC)} / 2

{- (- 5) +/- √ ((-5) - 4 (3) (- 8))} / 2 (3) =

{- (- 5) +/- √ ((-5) - (-96))} / 2 (3)

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 11

pięć. Liczyć. Zastępowanie znaczeń, upraszczają plusy i minusy, pomnożyć lub wypróbować pozostałe elementy:

{- (- 5) +/- √ ((-5) - (-96))} / 2 (3) =

{5 +/- √ (25 + 96)} / 6

{5 +/- √ (121)} / 6

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 12

6. Uprość root kwadratowy. Jeśli numer pod znakiem korzenia kwadratowego - kwadratu, otrzymasz liczbę całkowitą. Jeśli nie, upraszcz go do najprostszej wartości korzenia. Jeśli liczba jest negatywna, I jesteś pewien, że powinien być negatywny, Wtedy korzenie będą złożone. W tym przykładzie √ (121) = 11. Możesz zapisać, że X = (5 +/- 11) / 6.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 13

7. Znajdź rozwiązania pozytywne i negatywne. Jeśli usunęłeś znak kwadratowy, możesz kontynuować, aż znajdziesz wartości pozytywnych i ujemnych x. Mając (5 +/- 11) / 6, możesz napisać:

(5 + 11) / 6

(5 - 11) / 6

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 14

osiem. Znajdź wartości pozytywne i ujemne. Tylko policz:

(5 + 11) / 6 = 16/6

(5-11) / 6 = -6/6

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 15

dziewięć. Uproszczać. W tym celu podziel obie dla największego wspólnego dzielnika. Pierwsza frakcja jest podzielona przez 2, drugi do 6, X znaleziony.

16/6 = 8/3

-6/6 = -1

x = (-1, 8/3)

Metoda 3 z 3:

Dodatek do pełnego kwadra

jeden. Przenieś wszystkich członków na jedną stronę równania. ZA lub X powinien być dodatni. To jest takie:

2x - 9 = 12x =
2x - 12x - 9 = 0

W tym równaniu ZA: 2, B: -12,DO: -Nine.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 17

2. Przenieś penisa DO (stała) na drugą stronę. Stały jest członkiem równania zawierającego tylko wartość liczbową bez zmiennych. Przenieś go na prawą stronę:

2x - 12x - 9 = 0

2x - 12x = 9

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 18

3. Podziel obie części we współczynniku ZA lub x. Jeśli x nie ma współczynnika, to jest równe jeden, a ten krok może być pominięty. W naszym przykładzie wszyscy członkowie dzieli 2:

2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =

x - 6x = 9/2

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 19

cztery. Podzielić B W dniu 2, weź plac i dodaj do obu stron. W naszym przykładzie B równa -6:

-6/2 = -3 =

(-3) = 9 =

x - 6x + 9 = 9/2 + 9

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 20

pięć. Podejmować obie strony. Wcześnie członkowie lewej i okazują się (X-3) (X-3), lub (X-3). Złóż członków w prawo i uzyskać 9/2 + 9, lub 9/2 + 18/2, co ma 27/2.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 21

Usuń pierwiastek kwadratowy z obu części. Korek kwadratowy z (X-3) jest po prostu równy (X-3). Rood kwadratowy z 27/2 można napisać jako ± √ (27/2). Tak więc, x - 3 = ± √ (27/2).

Obraz zatytułowany Rozwiązanie równań kwadratowych Krok 22

Uprość wyrażenie podawania i znajdź X. Aby uprościć ± √ (27/2), znajdź pełny kwadrat w liczbach 27 i 2 lub ich mnożnikach. W 27 znajduje się pełny kwadrat 9, ponieważ 9 x 3 = 27. Aby przynieść 9 z znaku głównego, wyjmij korzeń i usuń 3 z znaku głównego. Zostaw 3 w frakcjach cyfrach pod znakiem głównym, ponieważ ten mnożnik nie można się nauczyć, a także opuścić 2 poniżej. Następnie prześlij stałe 3 lewej części równania w prawo i zapisz dwa rozwiązania dla X:

x = 3 + (√6) / 2

x = 3 - (√6) / 2)

Rada

Jeśli numer pod korzeniem nie jest pełnym kwadratem, ostatnie kilka kroków jest wykonywane trochę inaczej. Oto przykład:
Jak widać, znak główny nie zniknął. Taki obraz członków do numeratorów nie można łączyć. Wtedy nie ma sensu przełamać plus lub minus. Zamiast tego dzielimy wszelkie wspólne mnożniki - ale tylko Jeśli mnożnik jest powszechny dla stałego i Współczynnik korzenia.