Jak uprościć wyrażenie z przewodnikiem -

Anfered Expression jest wyrażeniem algebraicznym, który jest pod znakiem korzenia (kwadratowy, sześcienny lub wyższy porządek). Czasami wartości różnych wyrażeń mogą być takie same, na przykład 1 / (√2 - 1) = √2 + 1. Uproszczenie wyrażenia karmienia zostało zaprojektowane tak, aby przynieść go do jakiejś kanonicznej formy nagrywania.Jeśli dwie wyrażenia zapisane w formie kanonicznej są nadal inne, ich wartości nie są równe. W matematyce uważa się, że kanoniczna forma rejestracji wyrażeń karmienia (jak również wyrażeń z korzeniami) jest zgodny z następującymi zasadami:

Jeśli to możliwe, pozbyć się frakcji pod znakiem głównym
Pozbyć się wyrazu z wskaźnikiem frakcyjnym
Jeśli to możliwe, pozbądź się korzeni w mianowniku
Pozbyć się operacji mnożenia korzenia korzenia
Pod znakiem korzenia trzeba zostawić tylko tych członków, z których nie można wydobyć korzenia całkowitego

Zasady te można zastosować do wykonania zadań testowych. Na przykład, jeśli zdecydujesz się na zadanie, ale wynik nie pasuje do żadnej z podanych odpowiedzi, zapisz wynik w formie kanonicznej. Należy mieć na uwadze, że odpowiedzi na zadania testowe są podane w formie kanonicznej, więc jeśli piszesz wynik w tej samej formie, możesz łatwo określić poprawną odpowiedź. Jeśli zadanie jest wymagane do "uproszczenia odpowiedzi" lub "Uprość wyrażenia podawania", konieczne jest rejestrowanie wyniku w formie kanonicznej. Ponadto forma kanoniczna upraszcza roztwór równań, chociaż z pewnymi równaniami łatwiej jest radzić sobie, jeśli na chwilę zapomnij o kanonicznej formie nagrywania.

Kroki

jeden. W razie potrzeby pamiętaj zasady dotyczące wykonywania operacji z korzeniami i stopnie (Pamiętaj: Wyrażenie z przewodnikiem jest wyrażenie z ułamkowym wskaźnikiem stopnia), ponieważ takie zasady będą potrzebne w przyszłości. Co więcej, pamiętaj o zasady odwołania i uprościć wielomianów i Racjonalne wyrażenia.

Metoda 1 z 6:

Pozbycie się pełnych kwadratów i pełnych kostek

jeden. Uprość wyrażenie karmienia, które jest pełny kwadrat. Pełny kwadrat jest liczbą, która jest kwadratem pewnego całkowitego, na przykład, 81 jest kompletnym kwadratem, ponieważ 9 ^ 2 = 9 x 9 = 81. Aby uprościć ekspresję podawania, która jest kompletnym kwadratem, po prostu pozbyć się znaku głównego i zapisz liczbę całkowitą (gdy kwadrat będzie na placu).

Na przykład 121 jest kompletnym kwadratem, ponieważ 11 x 11 = 121. Tak więc, √121 = 11 (to znaczy pozbyć się znaku głównego i napisać liczbę całkowitą).
Aby ułatwić obliczenia, pamiętaj o następujących pełnych kwadratach: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144.

2. Upraszczają uwarunkowane wyrażenie, które jest pełne kostki. Kompletna kostka jest liczbą, która jest sześcianem pewnego całkowitego, na przykład, 27 jest kompletną kostką, ponieważ 3 ^ 3 = 3 x 3 x 3 = 27. Aby uprościć ekspresję podawania, która jest kompletną kostką, po prostu pozbyć się znaku korzenia i zapisz liczbę całkowitą (gdy sześcian będzie w kostce).

Na przykład 343 jest kompletną kostką, ponieważ 7 x 7 x 7 = 343. Tak więc korzeń sześcienny z 343 wynosi 7.

Metoda 2 z 6:

Pozbycie się wyrażenia z wskaźnikiem ułamkowym

Konwertuj wyrażenie z wskaźnikiem ułamkowym w wyrażeniu z przewodnikiem. Lub, w razie potrzeby przekonwertować kondycjonowany wyraz na wyrażenie z wskaźnikiem ułamkowym, ale nigdy nie mieszaj takich wyrażeń w jednym równaniu, na przykład, w następujący sposób: √5 + 5 ^ (3/2). Załóżmy, że zdecydowałeś się pracować z korzeniem kwadratowym z N, oznaczamy jako √n, a korzenie sześcienne z N jako kostki.

jeden. Znajdź wyrażenie z wskaźnikiem ułamkowym i przekształcić go w ekspresję przewodnikiem: x ^ (A / b) = root b-th z x ^ a.

Jeśli stopień korzenia jest frakcją, również się pozbywaj. Na przykład, korzeń z 2/3 stopnia z 4 = (√4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8.

2. Konwertuj wyrażenie z ujemnym wskaźnikiem do odpowiedniej wyrażenia frakcyjnego: x ^ (- y) = 1 / x ^.

Dotyczy to tylko stałych, racjonalnych wskaźników. Gdy termin zawiera zmienną, na przykład, 2 ^ x, nie dotykaj go, nawet jeśli zmienna "X" jest ułamkowa lub ujemna.

Daj takich członków i uprościć wszelkie racjonalne wyrażenia.

Metoda 3 z 6:

Pozbycie się frakcji pod znakiem korzenia

Według kanonicznej formy nagrywania korzeń frakcji musi być reprezentowany jako podział główny od liczb całkowitych.

jeden. Spójrz na wyrażenie faceta. Jeśli jest frakcja, przejdź do następnego kroku.

2. Wymień korzeń frakcji za pomocą stosunku dwóch korzeni zgodnie z następującą tożsamością: √ (A / B) = √a / √b.

Nie używaj tej tożsamości, jeśli mianownik jest ujemny lub zawiera zmienną, która może być ujemna. W takim przypadku najpierw upraszcz frakcję.

3. Uprość pełne kwadraty (jeśli w ogóle). Na przykład, √ (5/4) = √5 / √4 = (√5) / 2.

cztery. Wykonać inne uproszczenia, takie jak, Uprość frakcje kompozytowe, Zabrać takich członków i tak dalej.

Metoda 4 z 6:

Pozbycie się operacji mnożenia upraw

jeden. Jeśli równanie jest obecne w operacji mnożenia promieniowania root, Połącz dwie zdejmowane wyrażenia pod jednym znakiem głównym Zgodnie z tożsamością: √a * √b = √ (ab). Na przykład √2 * √6 = √12.

Tożsamość ta jest ważna tylko wtedy, gdy wyrażenia poduborcjowane nie są ujemne. Na przykład, √ (-1) * √ (-1) ≠ √ (1) - tutaj wyrażenie po lewej stronie jest -1 (lub nie zdefiniowane, jeśli nie wiesz, jak pracować z numerami złożonymi), a wyrażeniem Prawo to +1, to znaczy tożsamość nie została wykonana. Jeśli "A" i / lub "B" ma wartość ujemną, użyj jednostki wyimaginowanej, która jest wskazana jako I: √ (-5) = i * √5. Jeśli warunek ekspresji docelowej nie jest znany z warunkami problemu (to jest, może być dodatnie lub ujemne), nie dotykaj takiego wyrażenia. Lub użyj bardziej ogólnej tożsamości: √a * √b = √ (SGN (A)) * √ (SGN (B)) * √ (| ab |), który jest wykonywany dla wszystkich ważnych liczb "A" i "B" , ale z reguły nie jest konieczne skomplikowanie rozwiązania problemu ze względu na wprowadzenie fragmentarycznej funkcji stałej (SGN).
Ta tożsamość ma zastosowanie tylko wtedy, gdy korzenie mają ten sam stopień. Aby pomnożyć korzenie o różnych stopniach, najpierw musisz przekształcić je do korzeni w tym samym stopniu. Na przykład √5 * Cube√7. Tymczasowo przekształcił wyrażenia podawania w wyrażeniach z wskaźnikami frakcyjnymi: √5 * Cube√7 = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6) = (125 * 49) ^ (1/6) = 6125 ^ (1/6). Oznacza to, że okazało się korzeń 6. stopnia od 6125.

Metoda 5 z 6:

Pozbycie się mnożników, które są pełnymi kwadratami

jeden

Zadeklarować Liczba pokrętła. Rolnicy są niektórymi liczbami podczas mnożenia, które uzyskano numer początkowy. Na przykład 5 i 4 są dwoma mnożnikami liczb 20. Jeśli korzeń całkowity nie może zostać usunięty z ostatniej liczby, rozłóż taki numer dla możliwych mnożników i znajdź wśród nich pełny kwadrat.

Na przykład zapisz wszystkie mnożniki liczby 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 jest mnożnikiem 45 (9 x 5 = 45) i pełny kwadrat (9 = 3 ^ 2).

2. Weź mnożnik dla znaku głównego, który jest pełnym kwadratem. 9 jest pełnym kwadratem, ponieważ 3 x 3 = 9. Pozbądź się 9 pod znakiem korzenia i pisz 3 przed znakiem korzenia - pod znakiem korzenia pozostanie 5. Jeśli wykonasz numer 3 pod znakiem głównym, zostanie pomnożony przez siebie i numer 5, to znaczy, 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. W ten sposób 3√ 5 jest uproszczoną formą nagrywania √45.

√45 = √ (9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

3. Znajdź pełny kwadrat w wolnostojącej ekspresji ze zmienną. Pamiętaj: √ (A ^ 2) = | A |. Takie wyrażenie może być uproszczone do "A", ale tylko wtedy, gdy zmienna podejmuje wartości dodatnie. √ (A ^ 3) można rozkładać się na √a * √ (A ^ 2), ponieważ przy pomnożenie tych samych zmiennych ich wskaźniki są złożone (A * A ^ 2 = A ^ 3).

Tak więc w wyrażeniu A ^ 3, pełny kwadrat jest ^ 2.

cztery. Weź zmienną dla znaku głównego, co jest pełnym kwadratem. Pozbyć się ^ 2 pod znakiem głównym i zapisz "A" przed znakiem korzenia. Tak więc, √ (a ^ 3) = a√a.

pięć. Daj takich członków i uprościć wszelkie racjonalne wyrażenia.

Metoda 6 z 6:

Ulga od korzeni w mianowniku (racjonalizacja mianownika)

jeden. Według formy kanonicznej mianownik, Jeśli to możliwe, należy uwzględnić tylko liczby całkowite (lub wielomian w przypadku obecności zmiennej).

Jeśli mianownik jest niezręczny pod znakiem głównym, na przykład, [numerator] / √5, pomnóż numerator i mianownik do tego korzenia: ([numerator] * √5) / (√5 * √5) = ([Liczba] * √5) / pięć.

W przypadku korzenia sześciennego lub korzenia większy stopień pomnożyć numerator i mianownik do korzenia z zamontowanym wyrazem w odpowiednim stopniu, aby racjonalizować mianownik. Jeśli na przykład w mianowniku znajduje się kostka√5, pomnóż numerator i mianownik do Cube√ (5 ^ 2).

Jeśli mianownik jest wyrazem wyrażenia w postaci suma lub różnicy w kwadratowych korzeniach, takich jak √2 + √6, pomnóż licznik i mianownik do wyrażenia koniugatu, to znaczy wyrażenie z przeciwległym znakiem między jego członkami. Na przykład: [NUMERATOR] / (√2 + √6) = ([NUMERATOR] * (√2 - √6)) / ((√2 + √6) * (√2 - √6)). Następnie, stosując wzór różnicy kwadratowej ((A + B) (A - B) = A ^ 2 - B ^ 2) Zracjonalizuj mianownik: (√2 + √6) (√2 - √6) = (√ 2) ^ 2 - (√6) ^ 2 = 2 - 6 = -4.

Formuła różnicy kwadratowej może być również stosowana do ekspresji formularza 5 + √3, ponieważ każda liczba całkowita jest pierwiastkiem kwadratowym z innego całkowitego. Na przykład: 1 / (5 + √3) = (5 - √3) / ((5 + √3) (5 - √3)) = (5 - √3) / (5 ^ 2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3) / (25 - 3) = (5 - √3) / 22

Metoda ta może być nakładana na sumę kwadratowych korzeni, takich jak √5 - √6 + √7. Jeśli ma grupowanie tego wyrażenia w postaci (√5 - √6) + √7 i pomnóż ją na (√5 - √6) - √7, nie pozbywasz się korzeni i uzyskać wyraz Wpisz A + B * √30, gdzie "A i" B "- nieakceptowany bez korzenia. Następnie powstałe wyrażenie można pomnożyć przez koniugat: (A + B * √30) (A - B * √30), aby pozbyć się korzeni. Oznacza to, że jeśli możesz użyć wyrażenia koniugatu raz, aby pozbyć się pewnej liczby korzeni, a następnie mogą być używane jak najwięcej, aby pozbyć się wszystkich korzeni.

Metoda ta dotyczy również korzeni o wyższych stopniach, na przykład do wyrażenia "4 stopnia root 3 plus 7 stopnia root 9". W tym przypadku pomnożyć sutek i mianownika do wyrażenia, wyrażenie koniugatu w mianowniku. Ale tutaj wyrażenie koniugatu będzie nieco inne w porównaniu z tymi opisanymi powyżej. O tym przypadku można przeczytać w podręcznikach na Algebry.

2. Uprość licznik po pozbyciu się korzeni w mianowniku. W liczbie znajduje się produkt oryginalnego wyrażenia i wyrażenia koniugatu. Otwarte wsporniki, przenoszenie odpowiednich członków. Zabrać takich członków, a jeśli możesz, upraszczając wynikowy wyraz.

3. Jeśli mianownik jest ujemny liczba całkowita, pomnóż numerator i mianownik na -1, aby przekonwertować ten numer do dodatnia.

Rada

W Internecie znajdują się zasoby, które automatycznie upraszczają wyrażenia karmienia. Wystarczy wprowadzić wyrażenie karmienia i naciśnij ENTER, aby wyświetlić uproszczoną ekspresję.
Do niektórych prostych zadań opisane metody nie mogą być stosowane. W przypadku niektórych złożonych zadań metody te muszą być stosowane więcej niż raz. Krok po kroku uprość odebrane wyrażenia, a następnie sprawdzić, czy ostateczna odpowiedź w formie kanonicznej jest zapisywana, których kryteria są podane na samym początku tego artykułu. Jeśli odpowiedź zostanie przedstawiona w formie kanonicznej, zadanie zostanie rozwiązane - w przeciwnym razie, skorzystaj z opisanych metod.
Z reguły, kanoniczna forma nagrywania dotyczy numerów złożonych (I = √ (-1)). Nawet jeśli numer złożony jest napisany w formie I, a nie korzenia, lepiej pozbyć się I w mianowniku.
Niektóre z opisanych tutaj metod implikujących pracuje z kwadratowymi korzeniami. Zasady ogólne są takie same w przypadku korzeni sześciennych lub korzeni o wyższych stopniach, ale są dość trudne do zastosowania niektórych metod (w szczególności metody racjonalizacji mianownika). Co więcej, poproś nauczyciela o prawidłowy zapis korzeni (Cube√4 lub Cube√ (2 ^ 2)).
W niektórych sekcjach tego artykułu koncepcja "formy kanonicznej" jest używana nie całkiem prawidłowo - w rzeczywistości musimy porozmawiać o "formie standardowej". Różnica polega na tym, że forma kanoniczna wymaga rejestrowania 1 + √2, albo √2 + 1- Forma standardowa oznacza, że oba wyrażenia (1 + √2 i √2 +1) są niewątpliwie równe, nawet jeśli zostały zapisane różne sposoby. Tutaj, w ramach "niewątpliwie" arytmetyki (dodawanie dojeżdżające), a nie algebraiczne właściwości (√2 jest nieadegatywnym źródłem X ^ 2-2).
Jeśli opisane metody wydają się niejednoznaczne lub sprzeczne, wykonują spójne i jednoznaczne działania matematyczne, i napisz odpowiedź jako nauczyciel wymaga lub zaakceptowany w podręczniku.