Jak zrobić wykres równania kwadratowego: 10 kroków

Harmonogram równania kwadratowego AX + BX + C lub A (X - H) + K jest parabola (krzywa w kształcie litery U). Aby zbudować wykres takiego równania, konieczne jest znalezienie górnej części paraboli, jej kierunku i punktów przecięcia z osiami X i Y. Jeśli otrzymasz stosunkowo proste równanie kwadratowe, możesz zastąpić różne wartości "X", aby znaleźć odpowiednie wartości "Y" i zbudować harmonogram.

Kroki

jeden. Równanie kwadratowe można zarejestrować w formie standardowej iw postaci niestandardowej. Możesz użyć dowolnego rodzaju równania, aby skonstruować grafikę równania kwadratowej (metoda konstrukcji jest nieco inna). Zgodnie z zasadami, równania kwadratowe są podane w standardowej formie, ale ten artykuł opowie o obu typach rejestracji równania kwadratowego.

Standardowy wygląd: f (x) = AX + BX + C, gdzie a, b, c - prawidłowe numery i ≠ 0.

Na przykład dwa standardowe równania: f (x) = x + 2x + 1 i f (x) = 9x + 10x -8.

Niestandardowy wygląd: f (x) = a (x - h) + k, gdzie a, h, k - prawidłowe numery i ≠ 0.

Na przykład dwa równania niestandardowe: f (x) = 9 (x - 4) + 18 i -3 (x - 5) + 1.

Aby zbudować wykres równania kwadratowego każdego rodzaju, najpierw musisz znaleźć wierzchołek Pearabol, który ma współrzędne (H, K). Współrzędne wierzchołków Pearabol Równania Widoku są obliczane przy użyciu wzorów: H = -b / 2a i K = F (H) - współrzędne wierzchołka Pearabol w równaniach gatunków niestandardowych można uzyskać bezpośrednio równania.

Obraz zatytułowany Wykres równania kwadratowe Krok 2

2. Aby zbudować wykres, konieczne jest znalezienie wartości numerycznych współczynników A, B, C (lub A, H, K). W większości zadań równania kwadratowe są podawane z wartościami numerycznymi współczynnikami.

Na przykład, w równaniu standardowym F (X) = 2x + 16x + 39 A = 2, B = 16, C = 39.

Na przykład, w równaniu niestandardowym F (X) = 4 (X - 5) + 12, A = 4, H = 5, K = 12.

Obraz zatytułowany Wykres równania kwadratowe Krok 3

3. Oblicz H na równaniu standardowym (w niestandardowym jest już podany) wzorem: H = -b / 2a.

W naszym przykładzie równania standardowego F (X) = 2x + 16x + 39 H = -B / 2A = -16/2 (2) = -4.

W naszym przykładzie równania niestandardowego (X) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.

Obraz zatytułowany Wykres równania kwadratowe Krok 4

cztery. Oblicz K na równaniu standardowym (w niestandardowym, który jest już podany). Pamiętaj, że k = f (h), to znaczy można znaleźć k, zastępując znaleziono wartość H na oryginalnym równaniu zamiast "X".

Znalazłeś, że h = -4 (dla standardowego równania). Aby obliczyć K, zastąp tę wartość zamiast "X":

k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.

K = 2 (16) - 64 + 39.

k = 32 - 64 + 39 = 7

W równaniu niestandardowym K = 12.

Obraz zatytułowany Wykres równania kwadratowe Krok 5

pięć. Nałóż wierzchołek z współrzędnymi (H, K) na płaszczyźnie współrzędnych. H jest przełożony wzdłuż osi X i K - wzdłuż osi Y. Góra paraboli jest najmniejszym punktem (jeśli parabola jest skierowana do góry), albo samego górnego punktu (jeśli parabola jest skierowana w dół).

W naszym przykładzie równania standardowego szczyt ma współrzędne (-4, 7). Zastosuj ten punkt na płaszczyźnie współrzędnych.

W naszym przykładzie równania niestandardowego szczyt ma współrzędne (5, 12). Zastosuj ten punkt na płaszczyźnie współrzędnych.

Obraz zatytułowany Wykres równania kwadratowe Krok 6

6. Wydaj osi symetrii paraboli (opcjonalnie). Oś symetrii przechodzi przez górną część paraboli równoległa do osi Y (to jest ściśle pionowo). Oś symetrii dzieli paraboli w połowie (to znaczy Parabola jest lustrzana symetryczna o tej osi).

W naszym przykładzie równania standardowego oś symetria jest prostą, równoległą osią Y i przechodzącej przez punkt (-4, 7). Chociaż jest to bezpośrednio i nie jest częścią samej paraboli, daje ideę symetrii paraboli.

Obraz zatytułowany Wykres równania kwadratowe Krok 7

7. Określ kierunek paraboli - w górę lub w dół. Jest bardzo łatwy do zrobienia. Jeśli współczynnik "A" jest dodatni, wówczas parabola jest skierowana do góry, a jeśli współczynnik "A" jest ujemny, wówczas parabola jest skierowana w dół.

W naszym przykładzie standardowej równania f (x) = 2x + 16x + 39 paraboli jest skierowana, ponieważ A = 2 (współczynnik dodatni).

W naszym przykładzie równania niestandardowego F (X) = 4 (X - 5) + 12 Parabola jest również skierowane do góry, ponieważ A = 4 (współczynnik dodatni).

Obraz zatytułowany Wykres równania kwadratowe Krok 8

osiem. W razie potrzeby znajdź i zastosuj punkty przecięcia za pomocą osi X. Punkty te pomogą Ci w budowie paraboli. Może występować dwa, jeden lub nie jeden (jeśli parabola jest skierowana do góry, a jego górna jest powyżej osi X, lub jeśli parabola jest skierowana w dół, a jego pik jest poniżej osi X). Aby obliczyć współrzędne punkty przecięcia z osią, wykonaj następujące kroki:

Zrównoważyć równanie zero: f (x) = 0 i zdecyduj. Ta metoda działa z prostymi równaniami kwadratowymi (zwłaszcza niestandardowych gatunków), ale może być niezwykle trudny w przypadku równań złożonych. W naszym przykładzie:

f (x) = 4 (x - 12) - 4

0 = 4 (x - 12) - 4

4 = 4 (x - 12)

1 = (x - 12)

√1 = (x - 12)

+/ -1 = x -12. Punkt przecięcia paraboli z osią x ma współrzędne (11,0) i (13,0).

Rozłóż równanie kwadratowe standardowej formy na mnożnikach: AX + BX + C = (DX + E) (FX + G), gdzie DX × FX = AX, (DX × G + FX × E) = BX, E × G = C. Następnie wyrównuj każdy Bicker do 0 i znajdź wartości "X". Na przykład:

x + 2x + 1

= (x + 1) (x + 1)

W tym przypadku istnieje pojedynczy punkt przecięcia paraboli z osią X z współrzędnymi (-1,0), ponieważ w x + 1 = 0 x = -1.

Jeśli nie można rozłożyć równania na mnożnikach, zdecyduj go za pomocą formuły obliczania korzeni równania kwadratowego: x = (-b +/- √ (B - 4AC)) / 2a.

Na przykład: -5x + 1x + 10.

x = (-1 +/- √ (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)

x = (-1 +/- √ (1 + 200)) / - 10

x = (-1 +/- √ (201)) / - 10

x = (-1 +/- 14,18) / - 10

x = (13,18 / -10) i (-15,18 / -10). Punkt przecięcia paraboli z osią x ma współrzędne (-1.318,0) i (1,518,0).

W naszym przykładzie standardu 2x + 16x + 39 równań:

X = (-16 +/- √ (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)

x = (-16 +/- √ (256 - 312)) / 4

x = (-16 +/- √ (-56) / - 10

Ponieważ niemożliwe jest wyodrębnienie kwadratowego korzenia z liczby ujemnej, w tym przypadku parabola nie przecina osi x.

Obraz zatytułowany Wykres równania kwadratowe Krok 9

dziewięć. W razie potrzeby znajdź i zastosuj punkty przecięcia z osią Y. Jest bardzo łatwy - substytut x = 0 do oryginalnego równania i znajdź wartość "Y". Punkt przecięcia z osią Y jest zawsze sam. Uwaga: W standardowym równaniu widoku, punkt przecięcia ma współrzędne (0, C).

Na przykład równanie kwadratowe Parabola 2x + 16x + 39 przecinają się z osią Y w punkcie z współrzędnymi (0, 39), ponieważ C = 39. Ale można go obliczyć:

f (x) = 2x + 16x + 39

f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39

F (x) = 39, czyli parabola tego równania kwadratowego przecinające się osi Y w punkcie z współrzędnymi (0, 39).

W naszym przykładzie równania niestandardowych gatunków4 (X - 5) + 12 punkt przecięcia z osią Y jest obliczany w następujący sposób:

f (x) = 4 (x - 5) + 12

f (x) = 4 (0 - 5) + 12

f (x) = 4 (-5) + 12

f (x) = 4 (25) + 12

F (x) = 112, czyli parabola tego równania kwadratowego przecinające się osi Y w punkcie z współrzędnymi (0, 112).

Obraz zatytułowany Wykres równania kwadratowe Krok 10

10. Znalazłeś (i zajmowałeś się) górną część paraboli, jego kierunek i punkty przecięcia z osiami X i Y. Możesz zbudować parabole na tych punktach lub znaleźć i zastosować dodatkowe punkty i tylko wtedy zbudować parabola. Aby to zrobić, zastąp kilka wartości "x" (po obu stronach wierzchołka) na pierwotnym równaniu, aby obliczyć odpowiednie wartości "Y".

Wróćmy do równania X + 2x + 1. Już wiesz, punkt przecięcia harmonogramu tego równania za pomocą osi X jest punktem z współrzędnymi (-1,0). Jeśli Parabola ma tylko jeden punkt przecięcia z osią x, to jest górna część paraboli leżącej na osi x. W tym przypadku jeden punkt nie wystarczy, aby zbudować odpowiednią parabola. Dlatego znajdź kilka dodatkowych punktów.

Załóżmy, że x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.

x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Współrzędne punktu: (0,1).

x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Współrzędne punktu: (1.4).

x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Współrzędne punktu: (-2.1).

X = -3: F (X) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Współrzędne punktu: (-3,4).

Zastosuj te punkty na płaszczyźnie współrzędnych i zbuduj parabola (podłącz widoki krzywej w kształcie litery U). Należy pamiętać, że Parabola jest absolutnie symetryczna - każdy punkt na jednej gałęzi paraboli można odzwierciedlać (w stosunku do osi symetrii) na drugiej gałęzi paraboli. W ten sposób zaoszczędzisz czas, ponieważ nie musisz obliczyć współrzędnych punktów na obu gałęziach paraboli.

Rada

Okrągłe numery ułamkowe (jeśli jest to wymagania nauczyciela) - więc zbudujesz odpowiednią parabola.
Jeśli w f (X) = AX + BX + C Współczynniki B lub C mają zero, a następnie nie ma członków z tymi współczynnikami w równaniu. Na przykład 12x + 0x + 6 włącza się do 12x + 6, ponieważ 0x ma 0.