Jak rozkładać wielomianowe wielomianowe (równanie kwadratowe)

Wielomian zawiera zmienną (X), wzniesiony w stopniu i kilku członków i / lub wolnych członków. Rozkład wielomianów na mnożnikach - dzielenie go w krótkich i prostych wielomianach, które są mnożone ze sobą. Zdolność do rozprzestrzeniania wielomianu do mnożników wymaga wystarczającej wiedzy matematycznej i umiejętności.

Kroki

Metoda 1 z 7:

Podstawowe kroki

jeden. Zapisz równanie. Standardowy kształt równania kwadratu:

AX + BX + C = 0
Zorganizować członków zaczynające się od najwyższego rzędu. Rozważ przykład:

6 + 6x + 13x = 0
Daj ten równanie standardowej formie równania kwadratowego (po prostu zmieniając miejsca członkowskie):

6x + 13x + 6 = 0

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 2

2. Rozprzestrzenianie się na mnożnikach przy użyciu jednej z poniższych metod. Rozkład wielomianów na mnożnikach jest rozłupaniem go do krótkich i prostych wielomianów, które są mnożone ze sobą.

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
W tym przykładzie, Bicked (2x +3) i (3x + 2) są mnożnikami pierwotnego wielomianu 6x + 13x + 6.

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 3

3. Sprawdź pracę, mnożąc elementy i dodanie tych samych (podobnych) członków.

(2x + 3) (3x + 2)

6x + 4x + 9x + 6

6x + 13x + 6

(gdzie 4 i 9x są podobnymi członkami). W ten sposób odpowiednio rozkładamy wielomianową do mnożników, ponieważ dzięki ich mnożenia otrzymaliśmy oryginalny wielomian.

Metoda 2 z 7:

Rozwiązania i rozwiązania błędów

Jeśli otrzymasz raczej prosty wielomian, możesz niezależnie rozkładać go na mnożnikach. Na przykład doświadczeni matematycy mogą natychmiast określić, co wielomian 4x + 4x + 1 Ma mnożniki (2x + 1) i (2x + 1). (Uwaga, ta metoda nie będzie tak prosta, gdy rozkłada się bardziej złożone wielomian.) Rozważmy przykład:

3x + 2x - 8

jeden. Zapisz parę czynników współczynników ZA i DO. Korzystanie z wyrazu widoku AX + BX + C = 0, Określ współczynniki ZA i DO. W naszym przykładzie

A = 3 i mnożniki: 1 * 3
C = -8 i mnożniki: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, -1 * 8.

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 5

2. Napisz dwie pary wsporników ze spacjami, zamiast znajdowali znalezionych wolnych członków:

(x) (x)

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 6

3. Przed X Umieść parę czynników dla współczynnika ZA. W naszym przykładzie taka para jest tylko jedna:

(3x) (1x)

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 7

cztery. Po X Umieść pary mnożników z. Przypuśćmy, że zajmujemy 8 i 1. Dostajemy:

(3xosiem) (Xjeden)

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 8

pięć. Zdecyduj, który znak został pomiędzy X i liczby (bezpłatnie członkowie). W zależności od znaków w równaniu źródła możesz zdefiniować znaki przed wolnymi członkami. Oznacz wolnych członków w naszych biccins-multiplants H i K:

Jeśli AX + BX + C, następnie (x + h) (x + k)
Jeśli AX jest BX - C lub AX + BX - C, a następnie (x - h) (x + k)
Jeśli AX - BX + C, a następnie (X - H) (X - K)
W naszym przykładzie 3x + 2x - 8, dlatego (x - h) (x + k) i

(3x + 8) (x - 1)

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 9

6. Sprawdź wyniki, przenosząc wyrażenia w nawiasach. Jeśli drugi członek jest już (z zmiennej x) nieprawidłowy (bez względu na negatywny lub dodatni), nie wybrałeś nie pary mnożników DO.

(3x + 8) (x - 1)

3x - 3x + 8x - 8

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8thAfter, gdy mnożąc mnożniki, otrzymujemy wyrażenie, które nie jest równe początkowym oznacza, że nie wybraliśmy nie pary czynników.

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 10

7. Zmień kilka mnożników DO. W naszym przykładzie, weź 2 i 4 zamiast 1 i 8.

(3x + 2) (x - 4)
Teraz DO = -8. Jednak (3x * -4) + (2 * x) = -12x + 2x = -10x, to jest teraz B = -10x i w początkowym równaniu B = 2x (mam się źle B).

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 11

osiem. Zmień procedurę mnożników. Zmieniamy miejsca 2 i 4:

(3x + 4) (x - 2)
DO Co powinno być (4 * -2 = -8). -6x + 4x Daj nam poprawną wartość (2x), ale niewłaściwy znak przed nim (-2x zamiast + 2x).

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 12

dziewięć. Zmień znaki. Procedura członków w nawiasach pozostawia to samo, ale zmień znaki:

(3x - 4) (x + 2)
DO Co powinno być (-8) i

B= 6x - 4x = 2x
2x = 2xJako wymagane. W ten sposób znaleźliśmy odpowiednie czynniki pierwotnego równania.

Metoda 3 z 7:

Rozwiązanie przez rozkład

Korzystając z tej metody, możesz zdefiniować wszystkie czynniki współczynników ZA i DO i użyj ich podczas wyszukiwania mnożników tego równania. Jeśli liczby są duże lub zmęczone, zgadnij, użyj w ten sposób. Rozważ przykład:

6x + 13x + 6

jeden. Pomnóż współczynnik ZA (6 w naszym przykładzie) we współczynniku DO (Również 6 w naszym przykładzie).

6 * 6 = 36

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 14

2. Znajdź współczynnik B Rozkład mnożników i kontroli kontrolnej. Szukamy dwóch liczb, które przy mnożnikach daj wynik równy wynikowi mnożenia ZA * DO (w naszym przykładzie 36) i gdy dodanie daje wynik równy współczynnikowi B (W naszym przykładzie 13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

Obraz zatytułowany wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 15

3. Zastąp dwie liczby znalezione w równaniu źródła jako suma (która jest równa B). Oznacz znalezione liczby K i H (Procedura nie jest ważna):

AX + KX + HX + C
6x + 4x + 9x + 6

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 16

cztery. Rozpowszechniać obiekty wielomianowe do grupy grupowej. Członkowie grupy pierwotnej równania, aby znosić największych ogólnych mnożników pierwszych dwóch i dwóch ostatnich członków. Jednocześnie wyrażenia w obu wspornikach powinny być takie same. Wspólni mnożniki organizują w wyrażeniu i pomnóż go do tego samego wyrażenia w nawiasach.

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Metoda 4 z 7:

Metoda potrójna

Bardzo podobny do metody rozkładu. Ta metoda uwzględnia możliwe czynniki wyników mnożenia ZA na DO i używa ich do znalezienia wartości B. Rozważ przykład: 8x + 10x + 2

jeden. Zwielokrotniać ZA (8 w przykładzie) DO(2 w przykładzie).

8 * 2 = 16

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 18

2. Znajdź dwie liczby, które dają 16 przy pomnożaniu, a wynikiem jest równy współczynnikowi B (10 w przykładzie).

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 19

3. Znalazłem dwie liczby (oznaczają je H i K) Zastąp w następującym równaniu (Metoda potrójnia formuła "):

((AX + H) (AX + K)) / A

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 20

cztery. Dowiedz się, które ekspresja w obu wspornikach jest całkowicie podzielona na ZA. W naszym przykładzie wyrażenie to jest (8x + 8). Podziel ten wyraz ZA, I zostaw wyraz drugiego wspornika, jak to jest.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Podziel ten wyrażenie na 8 (ZA) i zdobądź (x + 1)

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 21

pięć. Weź największy wspólny dzielnik (węzeł) z dowolnych lub obu wsporników (jeśli jest). W naszym przykładzie węzeł ekspresji z drugiego wspornika wynosi 2 (od 8x + 2 = 2 (4x + 1)). Dostajemy więc

2 (x + 1) (4x + 1)

Metoda 5 z 7:

Różnica kwadratowa

Niektóre współczynniki wielomianowe można zidentyfikować jako "kwadraty" (praca dwóch identycznych numerów). Znalezienie "kwadratów" pozwala przyspieszyć rozkład wielomianów do multiplikatorów. Rozważ przykład:

27x - 12 = 0

jeden. Wykonaj najczęstszy współdzielony dzielnik do nawiasów (jeśli jest). W naszym przykładzie 27 i 12 są podzielone na 3.

27x - 12 = 3 (9x - 4)

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 23

2. Określić, że początkowe równanie to różnica dwóch kwadratów.Równanie musi mieć dwóch członków, z których można usunąć root kwadratowy.

9x = 3x * 3x i 4 = 2 * 2 (uwaga, że upuściliśmy znak minus)

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów Drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 24

3. Wartości zastępcze ZA i DO W wyrazie formularza:

(√ (a) + √ (c)) (√ (a) - √ (c))

W naszym przykładzie ZA = 9 I DO = 4, √ZA = 3 i √DO = 2. W ten sposób,

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metoda 6 z 7:

Formuła do rozwiązywania równania kwadratowego

Jeśli inne metody nie działają, a wielomian nie rozkłada się na czynniki, użyj roztworów równania kwadratowego. Rozważ przykład:

X + 4x + 1 = 0

jeden. Podaj odpowiednie wartości w wzorze:

x = -b ± √ (B - 4AC)
---------------------
2a
Dostajemy wyrażenie:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 26

2. Odnaleźć X. Musisz dostać dwa znaczenia X. Jak pokazano powyżej, znajdziemy dwa rozwiązania:

x = -2 + √ (3) lub x = -2 - √ (3)

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 27

3. Znaleziono wartości zastępcze X zamiast H i K W wyrazie formularza:

(X - h) (x - k)

(X - (-2 + √ (3)) (X - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metoda 7 z 7:

Kalkulator

Jeśli możesz użyć kalkulatora graficznego, znacznie uprości proces rozkładu wielomianów do mnożników. Poniżej znajdują się instrukcje dotyczące kalkulatora graficznego TI. Rozważ przykład:

Y = x - x - 2

jeden. Wpisz swoje równanie w [Y =].

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 29

2. Naciśnij [Wykres], aby zbudować wykres równania. Zobaczysz gładką krzywą (w naszym przypadku parabola, ponieważ jest to równanie kwadratowe).

Obraz zatytułowany wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 30

3. Znajdź punkty przecięcia paraboli za pomocą osi X. Więc znajdziesz wartości X.

(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2

Jeśli nie możesz określić współrzędnych wizualnie, naciśnij [2ND], a następnie [TRACE]. Kliknij [2] lub wybierz "zero". Załaduj kursor do lewego skrzyżowania i naciśnij [Enter]. Załaduj kursor do prawego skrzyżowania i naciśnij [ENTER]. Sama kalkulator określa wartości X.

Obraz zatytułowany współczynnik wielomianów drugiego stopnia (równania kwadratowe) Krok 31

cztery. Wartości zastępcze X zamiast H i K W wyrazie formularza:

(x - h) (x - k) = 0

(x - (-1)) (X - 2) = (x + 1) (x - 2)

Rada

Jeśli masz graficzny kalkulator TI-84, a następnie jest program solvera, który rozwiązuje równania kwadratowe (oraz ogólnie równań w dowolnym stopniu).
Jeśli członek nie jest w wielomianach, współczynnik jest równy 0. Jeśli masz taki przypadek, przydatne jest przepisanie równania w formularzu:

x + 6 = x + 0x + 6
Jeśli położyłeś wielomian za pomocą formuły do rozwiązania równania kwadratowego i otrzymałeś odpowiedź na korzenie, konwertuj wartości X W frakcji do sprawdzenia.
Jeśli z nieznanym (zmienną) nie ma współczynnika, jest równa 1.

x = 1x
Z czasem nauczysz się trzymać metodę próbek i błędów w mojej głowie. I do tego czasu piszę.

Ostrzeżenie

Jeśli studiujesz rozkład wielomianów w klasach, użyj metody, która doradza nauczycielowi, a nie tym, który lubisz. Nauczyciel na egzaminie może wymagać użycia jakiejkolwiek szczególnej drogi i może zabronić przy użyciu kalkulatora graficznego.