Jak rozwiązać wielomianów

W matematyce wielomian (lub wielomian) jest ilością lub różnicą jednoosobowych. Zaplanowane obejmuje zmienne i stałe, na przykład, pojedynczy panel jest 4, -10x i 3x. Wielomian składa się z dowolnej skończonej liczby pojedynczych skrzydeł, które nie zawierają ujemnych wskaźników stopnia (X), zmiennych w mianowniku (1 / x) i zmienne pod znakiem kwadratowego. Aby rozwiązać wielomian, musisz dowiedzieć się o tym, jakie wartości X wielomian jest zero.

Kroki

Metoda 1 z 5:

Rekordowo wielomian

jeden. Ułóż członków wielomialnego w porządku malejącym wskaźnikach stopnia. Przepisz ten wielomian, aby członek o najwyższej stopie jest pierwszy i członek z najmniejszym wskaźnikiem - ostatni. Na przykład, wielomian -1 + 3x - X przepisuje to: -x + 3x- 1.

Pamiętaj, że członek ujemny zawsze będzie negatywny, nawet jeśli piszesz go do pierwszego członka. Spójrz na poprzedni przykład --x -x był ujemny (ponieważ został odjęty), więc pozostał negatywny, gdy nagrałeś go z pierwszym członkiem.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 2

2. Uprościć wielomianę. Czasami każdy członek wielomiany zawiera mnożnik, który można dotrzeć do nawiasów, a zatem upraszczają wielomian. Na przykład w wielomianach 2x + 4x - 12, każdy element jest podzielony na 2, czyli 2 można wyjąć z nawiasów: 2 * (x + 2x - 6), podczas gdy wartość oryginalnego wielomianu nie będzie zmiana. Pamiętaj, że ta metoda ma zastosowanie tylko wtedy, gdy każdy członek ma ogólny mnożnik.

Aby sprawdzić obliczenia, pomnóż każdy członek w dniu 2. Należy otrzymać początkowe wielomian: 2x + 4x - 12 = (2 * x) + (2 * 2x) - (2 * 6)

Metoda ta ma zastosowanie do zmiennych, na przykład: 3x * (x + 3) = 3x + 9x.

Zawsze weź największy mnożnik na wsporniki. W 10X + 20X wielomianę do nawiasów możliwe jest nie tylko 2, ale także 10x.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 3

3. Ustalić, czy można rozwiązać wielomian. Pamiętaj, że wielomian obejmuje każdą skończoną liczbę pojedynczych skrzydeł, które nie zawierają ujemnego stopnia (X) wskaźników ujemnych, zmiennych w mianowniku (1 / x) i zmiennych pod znakiem kwadratowym. Jeśli co najmniej jeden z tych warunków nie jest zadowolony, równanie to jest rozwiązane metodami, które nie są rozpatrywane w tym artykule.

Należy pamiętać, że wielomiany wskazują stopień, który jest 4 (x) i wyższy, bardzo trudno jest zdecydować, ale dla tego możesz użyć kalkulatora grafiki.

Jeśli usprawniesz wielomian w kolejności malejąco wskaźników, zostanie zapisany w formie standardowej.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 4

cztery. Pamiętaj o głównych terminach matematycznych. Dość trudno jest rozwiązać wielomiany, jeśli nie znasz terminologii. Pamiętaj o następujących terminach:

Zaplanowany (lub tylko członek) jest matematyczną ekspresją, która obejmuje stałą, zmienną lub stałą i zmienną. Na przykład 5, x, 3t, 15y.

Wielomian (lub wielomian) - to jest ilość lub różnica jednego łóżka.

Faktem jest, że przy pomnożaniu, podaje trzecią liczbę innej liczbie. Na przykład mnożniki 10 są liczbami 2, 5, 1, 10, ponieważ każda z tych liczb, pomnożona przez inną liczbę, da 10. Na przykład multiplery mogą być zmiennymi, na przykład multiplery 10x są 2, 5, 1, 10 i x.

Stopień jest największą szybkością stopnia zmiennej, która jest zawarta w wielomianę. Na przykład wielomian X + 3x + 55 jest wielomianem piątego stopnia.

Trzy stężenie jest wielomianem, który składa się z trzech homorałów, na przykład 2x + x + 12.

Dwa (lub binom) jest wielomianem, który składa się z dwóch homorałów, na przykład, X + 9. Należy pamiętać, że niektóre wielomiany można rozkładać na mnożnikach dwóch i więcej bramek.

Metoda 2 z 5:

Rozkład trzech interesariuszy

jeden. Rozwiązać wielomian podany w formie trzech. W tym artykule omówiono tylko trzy metry (wskaźnik ich stopnia nie przekracza 2, na przykład, x, 3x itd.), Ponieważ takie trzy etapy są najczęstsze i łatwo je rozwiązują. Trzy muszą rozkładać się na pracę dwóch Benomów pierwszego stopnia. Rozważ przykład: X + 9x - 20.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 6

2. Pamiętaj, że testy mogą być rozkładane na mnożnikach w dwóch benomach. Aby rozwiązać trzy decyzje, konieczne jest uproszczenie go, a dla tego, rozkładem go trzykrotnie, aby pracować dwa benome, których wskaźnik nie przekracza 1 (na przykład, x, 5x itd). Pamiętaj o kolejności mnożenia dwóch runków: pierwszych członków, pierwszych i drugi członków, drugi i pierwszych członków, drugi członkowie. Na przykład ruchomy skręcony (X + 3) i (x + 2):

(x + 3) (x + 2)

Pierwsi członkowie. Pierwsi członkowie są x.

x * x = X

Pierwszy i drugi członkowie. Pierwszym członkiem jest X, a drugi 2.

x * 2 = 2x

Drugi i pierwsi członkowie. Drugi termin ma 3, a pierwszy x.

3 * x = 3x

Drugi członkowie. Drugi członkowie są 3 i 2.

3 * 2 = 6

Złóż wyniki, aby uzyskać wielomian: X + 3x + 2x + 6.

Złóż (lub odliczanie) Podobne członków do uproszczenia wielomialnego (podobnych członków są członkami zawierającymi zmienną z tym samym wskaźnikiem stopnia): x + 5x + 6

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 7

3. Rozłóż trzy stawki. Większość trzech stawek może być rozkładana na dwóch czynnikach, z których każdy ma dwukierunkowy skręcony. Ta metoda zawiera metodę próbki i błędów. Zwróć uwagę na następujące:

Pierwsza kadencja trzech mely (X) jest wynikiem mnożących pierwszych członków każdego dwóch.

Drugi członek trzech zadeklarowanych (X) jest sumą wyników mnożenia pierwszego i drugiego i drugiego i pierwszych członków każdego dwóch.

Trzeci członek trzech deklarowanych (6) jest wynikiem mnożenia drugiego członków każdej dwóch.

Jeśli trzeci pióro jest ujemny, drugi członek jednego z tętników będzie negatywny.

Zapisz rozkład trzech uderzeń na kawałku tętnicy w postaci x + x - 6 = (__ +/- __) (__ + / -__), to znaczy, trzeba znaleźć gładkość i zastępować ich zamiast spacji.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 8

cztery. Znajdź pierwsze potrząśnięcia (dla każdej pary nawiasów). Rozważmy przykład: x + x - 20. Aby znaleźć pierwsze, spójrz na pierwszy członek trzech i umieść go na parach najprostszych mnożników. W naszym przykładzie takie czynniki są x i x, ponieważ x * x = x.

Znaleziono gładką do zastąpienia zamiast pierwszych przestrzeni wewnątrz każdej pary wsporników: (x + / -__) (x +/- __)

Pamiętaj, że kwadrat jest dowolną zmienną lub stałą, pomnożoną przez siebie.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 9

pięć. Znajdź dwie liczby, których praca jest trzecim członkiem trzech. Aby to zrobić, spójrz na trzeci członek trzech butów i rozłóż go na wszystkich możliwych par mnożnikowych. W naszym przykładzie (trzeci termin jest numer -20) Takie pary mnożników są następującymi liczbami:

-10 * 2 = 20

10 * -2 = -20

-4 * 5 = -20

4 * -5 = -20

Rozwiązywanie złożonych wielomianów, można użyć ułamków dziesiętnych (-3 * 6,6666), ale takie wielomiany są bardzo trudne do podjęcia decyzji, ponieważ jest to niemożliwe, aby zastosować metodę próbek i błędów. W takich przypadkach ciesz się kalkulatora graficznego.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 10

6. Wśród znalezionych (w poprzednim kroku) pary mnożników wybierają taką kilka liczb, gdy przygotowany jest drugi element, drugi członek jest trzy. Stała (stała) jest zawsze przed zmienną. W naszym przykładzie drugiego członka trzech zdjęć to x. Ponieważ stała nie jest określona, jest równa 1, ponieważ x * 1 = x. W ten sposób musisz wybrać taką kilka liczb, gdy uzyskiwany dodatek 1. W naszym przykładzie taka para to liczby -4 i 5: -4 + 5 = 1. Tak więc praca odbicia będzie wyglądać tak: (x - 4) (x + 5).

Numery dodatnie są identyfikowane z dodatkiem i negatywne - z odejmowaniem.

Uwaga: Weź pod uwagę stałę pierwszego członka trzech. Na przykład, jeśli w naszym przykładzie, pierwsza kadencja trzech dekolitów będzie 3x, wówczas tak potrójna nie jest ustawiona na mnożnikach (3x - 4) (x + 5), ponieważ w tym przypadku ilość wyników Prace pierwszych i drugi członków, a drugi i pierwsi członkowie nie jest równy 1: 15 + (-4) = 11. Tutaj musisz wybrać kolejną parę liczby -20 współczynnika.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 11

7. Pomnóż członkowie odbicia, aby sprawdzić wynik. W naszym przykładzie:

(x - 4) (x + 5)

Pierwsi członkowie. x * x = x

Pierwszy i drugi członkowie. x * 5 = 5x

Drugi i pierwsi członkowie. -4 * x = -4x

Drugi członkowie. -4 * 5 = -20

Złóż wyniki, aby uzyskać wielomian: x + 5x - 4x - 20

Złóż lub odliczyć podobne elementy: x + x - 20

Ponieważ wynikowy test ten zbiega się ze źródłem, rozwiązanie jest poprawne.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 12

osiem. Ćwicz w rozkładu trzech stawek na mnożnikach. Niektóre trzy razy trudniej się położyć niż inne. Spróbuj rozkładać następujące kwadraty na czynniki i porównać otrzymane odpowiedzi z następującymi.

Proste zadanie: X + 4x + 3.

Odpowiedź: (x + 1) (x + 3)

Normalne zadanie: X - 9 + 18.

Odpowiedź: (x - 3) (x - 6)

Trudne zadanie: 4x - 2x -6

Odpowiedź: (2x - 3) (2x + 2)

Metoda 3 z 5:

Decyzja wielomianów

jeden. Aby rozwiązać wielomian, musisz zrównać go do zera. Zadania wymagają "znaleźć wartości zmiennej, w której wielomian ma 0", lub "Znajdź korzenie wielomianu", lub po prostu "rozwiązać wielomian". Przed zrównaniem wielomianu do zera użyj wskazówek określonych w pierwszej części tego artykułu. Rozważmy przykład: 3x (2x - 4) (x + 5) = 0.

Korzenie wielomianów znajdują się tam, gdzie jest zero, czyli to punkt (na płaszczyźnie współrzędnych), w którym wykres funkcji wielompuszczalnej przecina osi X (oś pozioma).

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 14

2. Utożsamiać każdy biccoon (jeśli rozkładasz wielomian dla mnożników) do zera. Ponieważ wielomian jest odrzucany do kilku czynników, główne zadanie jest podzielone na kilka podtasków. Jeśli 0 zostanie pomnożony przez dowolne wyrażenie lub numer, okaże się 0, dzięki czemu można rozważyć każdy mnożnik oddzielnie. Tak więc, w naszym przykładzie zadanie jest podzielone na 3 podtaski:

Równanie A: 3x = 0

Równanie B: 2x - 4 = 0

Równanie C: X + 5 = 0

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 15

3. Zdecyduj wszystkie równania, to znaczy, znajdź "x". Każda decyzja będzie korzeniem oryginalnego wielomianu. Aby znaleźć "X", oddziel tę zmienną po jednej stronie równania.

Równanie A: Pozbyć się 3 drogi do następnego podziału: 3x / 3 = 0/3.

x = 0

Równanie B: 2x - 4 +4 = 0 + 4

2x / 2 = 4/2

x = 2

Równanie C: X + 5 - 5 = 0 - 5

x = -5

Znalazłeś korzenie wielomianu.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 16

cztery. Aby sprawdzić odpowiedź, zastąp wartości znalezione w oryginalnym wielomianem. Jest to szybki i niezawodny sposób, aby sprawdzić jakąkolwiek decyzję. Zamiast "X" zastępować znalezione wartości - jeśli rozwiązanie jest prawidłowe, wielomian będzie równy 0.

x = 0: (3 * 0) (2 * 0 - 4) (0 - 5) = 0

(0) (- 4) (- 5) = 0

0 = 0

Odpowiedź ma rację. Sprawdź pozostałe wartości "x".

Metoda 4 z 5:

Rozwiązanie złożonych wielomianów

jeden. Uprościć wielomianę. Aby to zrobić, umieść go na pracy skręconej i trzy. Na przykład, produkt (X-5) (X + X - 20) można podzielić na dwa równania i rozwiązać je oddzielnie.

Jeśli wysoce podany jest wysoki stopień, na przykład, x, może to być zapisane w następujący sposób: (x), co znacznie uprościło jego decyzję.

Na przykład, x + 2x + 4 = (x + 2) (x + 2)

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 18

2. Rozwiązać wielomian podany w postaci różnicy dwóch kostek. Jeśli liczba lub gruntowna kostka jest odjęta z kostki innej liczby lub zmiennej, na przykład, X - 8, wówczas taka różnica może być rozkładana na produkt skręconych i trzech zadeklarowanych według wzoru skróconego mnożenia: (A - B) (A + AB + B) = A - B

W naszym przykładzie A = X, B = 2 (od 2 = 8). Dlatego x - 8 = (x - 2) (x + 2x + 8).

Aby zrozumieć, jak ta formuła jest wyświetlana, otwarta Ta strona (po angielsku).

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 19

3. Naucz się rozwiązywać równanie kwadratowe. Równanie kwadratowe jest równoważnikiem wielomiczni drugiego stopnia do zera. Równanie kwadratowe można wykorzystać do rozwiązania złożonych wielomianów bez kalkulatora graficznego. Za pomocą formuły do rozwiązania równania kwadratowego można szybko znaleźć korzenie wielomianu.

Metoda 5 z 5:

Korzystanie z kalkulatora graficznego

jeden. Aby rozwiązać złożone wielomian, użyj kalkulatora graficznego. Skomplikowane wielomiany są wielomianami z dużą liczbą członków, wskaźniki dziwne stopnia lub ukrytych mnożników. Kalkulator graficzny znajdzie korzenie w trybie automatycznym. Najprostszym sposobem korzystania z funkcji ZEROS (zer).

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 21

2. Wpisz wielomian w kalkulatorze graficznej. Z reguły odbywa się to na ekranie y = _____ lub f (x) _____ (wielomian jest wprowadzany zamiast spacji).

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 22

3. Spójrz na harmonogram. Na ekranie kalkulatora pojawia się wprowadzony wykres wielomianowy.

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 23

cztery. Kliknij "Zeros" (zeros). W najbardziej popularnych graficznych kalkulatorach produkowanych przez Texas Instrument, kliknij "2ND" - "Calc" - "Zer". Na innych kalkulatorach graficznych odpowiednia funkcja można nazwać "korzeniem" (korzenie), "obliczyć korzenie" (obliczyć korzenie), "obliczyć zer" (obliczyć zer).

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 24

pięć. Wybierz punkty leżące w lewo i bezpośrednio od pożądanego korzenia. Punkt mrugający pojawi się na wykresie. Korzystanie z przycisków strzałek, ustaw migający punkt na lewo od punktu przecięcia wykresu z osią odcięcia. Zaznacz wybrany punkt. Powtórz ten proces, aby zaznaczyć punkt na prawo od pożądanego korzenia.

Kalkulator zaoferuje znaleźć te punkty.

Nie wybieraj całego harmonogramu - zwiększ go i wybierz punkty po lewej i prawej stronie z domniemanego roota (to znaczy, punkty przecięcia wykresu z osią X).

Obraz zatytułowany Rozwiązanie wielomianów Krok 25

6. Pamiętaj, aby zaznaczyć punkty, w których wykres jest po prostu dotyczy (ale nie krzyżuje się) osi x. Takie punkty są również równaniami korzeniami.

Jeśli znalazłeś korzenie wielomianowe ręcznie, sprawdź je z kalkulatorem graficznym. Aby to zrobić w kalkulatorze, znajdź współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią x.

Rada

Nie martw się, jeśli wielomian zawiera inne zmienne, na przykład T, lub jeśli jest równe F (X), a nie do 0. Jeśli chcesz znaleźć korzenie, zera lub mnożniki, rozwiązać taką wielomian, jak również dowolne inne (to znaczy, jak opisano w tym artykule).
Pamiętaj o procedurze wykonania operacji matematycznych. Najpierw rozwiązać wyrażenie w nawiasach, a następnie pomnóż lub podziel, a następnie złożyć lub odliczyć.